两角和、差及倍角公式的应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·成都模拟)下列各式中,值为的是()A.2sin15°cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos30°=.2.(2016·宁德模拟)已知sinα=,α∈,则tan2α=()A.-B.C.-D.2【解析】选A.因为sinα=,α∈,所以cosα==,tanα==2,所以tan2α===-.3.(2016·上饶模拟)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=,则cos2α的值为()A.B.-C.±D.-【解析】选B.将sinα+cosα=两边平方,得1+sin2α=,所以sin2α=-,所以sinα>0,cosα<0,可知<α<π.又因为sinα>|cosα|,所以<α<,即π<2α<,所以cos2α=-.4.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A.B.C.-D.-【解析】选C.两边平方,再同时除以cos2α,得3tan2α-8tanα-3=0,tanα=3或tanα=-,代入tan2α=,得到tan2α=-.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sinα=,cosα=,这时sinα+2cosα=符合要求,此时tanα=3,代入二倍角公式得到答案C.【加固训练】若tanθ+=4,则sin2θ=()A.B.C.D.【解析】选D.方法一:因为tanθ+==4,所以4tanθ=1+tan2θ,所以sin2θ=2sinθcosθ====.方法二:因为tanθ+=+==,所以4=,故sin2θ=.5.将函数f=6sin(x+)sin(x+)-的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增【解析】选B.化简函数表达式为y=3sin,再将图象向右平移个单位长度后得到y=3sin,即y=3sin的图象,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,化简可得x∈,k∈Z,即函数y=3sin的单调递增区间为,k∈Z,令k=0,可得y=3sin在区间上单调递增.6.(2016·太原模拟)将函数y=cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是()A.B.C.D.【解析】选B.化简表达式为y=cosx+sinx=2=2sin,将其图象向左平移m个单位后,得到y=2sin的图象,此图象关于y轴对称,则x=0时,y=±2,即2sin=±2,所以m+=+kπ,k∈Z,由于m>0,所以mmin=.7.(2016·西安模拟)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=()A.B.C.D.-【解析】选D.f(x)=sinx-2cosx==sin(x-φ),其中sinφ=,cosφ=,当x-φ=2kπ+(k∈Z)时函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ++φ时函数f(x)取得最大值,所以cosθ=-sinφ=-.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知=,则sin2=.【解析】因为===sin2x,所以sin2x=,则sin2===.答案:9.函数y=sincos的单调递减区间是.【解析】y=sincos=cosx=cos2x-sin2x+=cos+.求此函数的单调递减区间应有2kπ≤2x+≤π+2kπ(k∈Z),由此可得x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)【加固训练】(2016·潮州模拟)函数y=sin2x+2sin2x的最小正周期T为.【解析】y=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+=2sin+,所以该函数的最小正周期T==π.答案:π10.(2016·衡水模拟)f(x)=sin2x+2cos2x-,函数g(x)=mcos-2m+3(m>0),若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围是.【解析】因为f=sin2x+cos2x=2sin,所以当x∈时,2x+∈,所以f的值域为,又因为当x∈时,2x-∈,所以g的值域为,由题意可知两个函数的值域交集不是空集,所以解得≤m≤2,所以所求m的取值范围是.答案:(15分钟30分)1.(5分)若tan=-3,则=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.因为tan=-3,所以=-3,所以tanθ=2,所以==tanθ=2.2.(5分)(2016·郑州模拟)设函数f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数【解析】选B.f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2=2cos,因为ω=2,所以T==π,又函数图象关于直线x=0对称,所以φ-=kπ(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得:kπ≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的递减区间为(k∈Z),又(k∈Z),所以函数在上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数,故选B.3.(5分)(2016·武汉模拟)在三角形ABC中,A,B,C是三角形ABC的内角,设函数f(A)=2sinsin+sin2-cos2,则f(A)的最大值为.【解析】函数f(A)=2sinsin+sin2-c...
