数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·安徽高考)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i【解析】选C.因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i,所以选C.2.(2016·南昌模拟)已知集合M={1,2,zi},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=()A.-2iB.2iC.-4iD.4i【解析】选C.由题意,得zi=4,所以z==-4i.3.(2016·泸州模拟)若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则a=()A.2015B.2016C.-2015D.-2016【解析】选B.因为===[(a-2016)-(a+2016)i]为纯虚数,所以a-2016=0,a+2016≠0,即a=2016.【加固训练】若(m2+mi)-(4-2i)是纯虚数,则实数m的值为()A.0B.±2C.2D.-2【解析】选C.因为(m2+mi)-(4-2i)=(m2-4)+(m+2)i是纯虚数,所以解得m=2.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了i的系数不为0.4.设复数w=,其中a为实数,若w的实部为2,则w的虚部为()A.-B.-C.D.【解析】选A.w====[(a+1)2-(1-a)2+2(a+1)(1-a)i]=a-i.由题意知a=2,故w的虚部为-=-=-.【加固训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位,=()A.-1B.1C.-iD.i【解析】选A.===-1.5.(2014·辽宁高考)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i【解析】选A.由(z-2i)(2-i)=5得z=+2i=+2i=2+i+2i=2+3i.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选A.设z=a+bi(a,b∈R),则由(z-2i)(2-i)=5,得z-2i===2+i,又z-2i=a+bi-2i=a+(b-2)i,所以a+(b-2)i=2+i,所以得故z=2+3i.6.(2016·石家庄模拟)下面是关于复数z=的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4【解析】选C.z====-1-i,所以|z|==,p1不正确;z2=(-1-i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3不正确;显然p4正确.7.(2016·大同模拟)若复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为(1,4),则()A.a=,b=B.a=,b=C.a=9,b=2D.a=2,b=9【解析】选C.因为===1+4i,所以解得a=9,b=2.【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.【加固训练】(2016·泉州模拟)复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】本题还可采用如下解法:z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应的点不可能位于第一象限.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·重庆高考)复数(1+2i)i的实部为.【解析】(1+2i)i=-2+i,所以实部为-2.答案:-29.(2016·郑州模拟)=.【解析】原式===(-i)3=i.答案:i10.(2015·上海高考)若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=.【解题提示】令z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等转化为实数运算.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为3z+=1+i,所以3(a+bi)+a-bi=1+i,即4a+2bi=1+i,所以即所以z=+i.答案:+i(20分钟40分)1.(5分)(2015·上海高考)设z1,z2∈C,“则z1,z2”“中至少有一个数是虚数是z1-z2”是虚数的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当z1-z2是虚数时,z1,z2中至少有一个数是虚数成立,即必要性成立;当z1,z2中至少有一个数是虚数,z1-z2不一定是虚数,如z1=z2=i,即充分性不成立.【加固训练】(2016·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则=B.若z1=,则=z2C.若=,则z1·=z2·D.若=,则=【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).选项具体分析结论A若|z1-z2|=0,则=0,所以a=c,b=d,即z1=z2,故=正确B若z1=,则a=c,b=-d,所以=z2正确C若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·=z2·正确D=(a2-b2)+2abi,=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的前提下不能保证a2-b2=c2-d2,2ab=2cd错误2.(5分)(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.【解题提示】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式,然后利用复数的模的公式...
