第 8 讲 立体几何中的向量方法(二)【2013 年高考会这样考】考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．【复习指导】复习中要掌握空间角的类型及各自的范围，掌握求空间角的向量方法，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系．基础梳理1．空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线 a、b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b.则把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．① 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 0°的角．(3)二面角的平面角如图在二面角 αlβ 的棱上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱l 的射线 OA 和 OB，则∠AOB 叫做二面角的平面角．2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 的夹角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 的夹角 θ 满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD 是二面角 αlβ 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．1(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角 αlβ 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．三种成角(1) 异面直线所成的角的范围是； (2) 直线与平面所成角的范围是； (3) 二面角的范围是 [0 ， π] ． 易误警示利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α 、 β 的法向量 n 1， n 2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n 1， n 2 的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．双基自测1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是( )．A．90° B．30° C．45° D．60°解析 cos〈a，b〉＝＝，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°.答案 D2．(人教 A 版教材习题改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )． A．45° B．135°C．45...
