初中数学解题技巧-极限思维巧解题

“极限思维”巧解题一类以圆的知识为背景，以“隐形”动态几何模式呈现，求阴影面积取值范围的问题，要求学生对图形位置关系变化过程有深刻的理解，反映出学生是否具有局部与整体的差异性意识及数学思想和数学思维的深度，这类问题假如能巧用“极限思维”，问题就会迎刃而解．例 1 如图 1，正△ABC 的边长是 2，分别以点 B，C 为圆心，以 r 为半径作两条弧，设两弧与边 BC 围成的阴影部分面积为 S，当≤r<2 时，S 的取值范围是_______．分析 首先，求出 S 关于 r 的函数表达式，分析其增减性；然后根据 r 的“极值”，利用“极限思维”，求出 S 的最大值与最小值，从而得到 S 的取值范围．解 如图 2 所示，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G，易知 G 为 BC 的中点，CG＝1．在 Rt△CDG 中，由勾股定理，得当 r 增大时，∠DCG＝θ 随之增大，故 S 随 r 的增大而增大， 例 2 如图 3，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D 是线段 BC 上的一个动点（包括点 B，C）．以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连结EF，则过点 E，D，F 三点的弓形的面积 S 的取值范围是_________．分析 在△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，由“角边角”可知△ABC 的形状、大小不变，且∠ACB＝75°，AB> AC．因此，圆周角∠EAF＝∠BAC＝60°所对圆弧与弦 EF 所围成的弓形面积随其弓形所在圆的直径的变化而变化．利用“极限思维”，当直径最短时其面积最小，当直径最长时其面积最大．又因为点 D 是线段 BC上的一个动点（包括点 B，C），以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连结EF，所以，如图 4，当 AD⊥BC 于点 D 时，过点 E，D，F 三点的弓形的面积最小；如图5，当点 D 与点 B 重合时，则点 E 也与点 B 重合，此时过点 E、D、F 三点的弓形的面积最大．解 如图 4，作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADB＝90°，以 AD 为直径画⊙O 分别交AB，AC 于点 E，F，连结 EF 此时过点 E、D、F 三点的弓形的面积最小． ∠ABC＝45°，AB＝4．∴在等腰直角△ADB 中，由勾股定理求得⊙O 的直径 AD＝4．作 OG⊥EF 于点 G，连结 OE、OF，则 OE＝OF＝2，∠EOF＝2∠EAF＝120°．OG＝OE＝1，EF＝2EG＝2.∴扇形 EDF 的面积为△EOF 的面积为．则过 E、D、F 三点的弓形的面积为．如图 5，当点 D 与点 B 重合时，则点 E 也与点 B 重合，以...