第 22 讲 三角恒等变换本专题涉及到的知识点是两角和差的正余弦、正切公式；二倍角公式．正用、逆用、创造条件使用公式是解题的关键，涉及到三种主要的变换：角变换、函数名称的变换、运算方式的变换．A 类例题 例１ 已知都是钝角，且．求．分析 实施角变换：，角变换是三角函数中最重要的一种变换．解 由都是钝角知，．若，则均为锐角，且．由此得与角是钝角矛盾，故只有，所以．从而．说明 抓住了角变换就明确了解题的方向，本题容易产生的失误是解的个数．例２ 已知，求的值．分析 变形的方法是化弦处理和抓住公式结构逆用公式．解 由得，另一方面，所以．说明 抓住公式结构是逆用和创造条件用好公式的前提，类似的问题在三角函数中很多，如求 值 ：， 在 此 问 题 中 要 抓 两 点 ， 第 一 是与蕴 涵 在 两 角 和 的 正 切 公 式 结 构 中 ， 第 二 是 角 关 系．由展开整理即得其值为 ．用心 爱心 专心1例３ 已知，求，．分析 本题的解法很多，现用角变换求解．解 由已知条件有．同理 ．联立求出．情景再现１．已知，求证：．２．求的值．３.求值：．B 类例题 例４ 已知是锐角，是钝角，且成等差数列，求的值．（２００１年上海市数学竞赛）分析 化弦降次和运算方法变换．解 由条件化弦得，，，，，用心 爱心 专心2，即，由是锐角，是钝角得．例５ 设，求证：是成立的充要条件．（２００５年第１５届希望杯数学赛）分析 运用公式直接展开．解法一 充分性是显然的，下面证必要性．由得即化简得，即，由得．解法二 构造三角形求解．构造，则，因为，即，即，从而知，即．例６ 求的值．（１９９１年全国高中联赛）分析 本题的基本方法是降次、和差化积，从结构特征构造求解．解法一 注意，且三角式是关于对称的，所以可以构造二元对称代换求值．设，则，，用心 爱心 专心3所以原式．解法二 利用，构造对偶模型求解．设，，则，从而求出．说明 三角式的结构特征分析在解题中的作用很大，往往能揭示问题的本质．本题也可以通过构造三角形等其它方法求解．例７ 求的值．分析 从基本方法和构造法两个角度求解．解法一 （和差化积逆用公式）＝，分子分母同乘，连续两次逆用二倍角公式得其值为．解法二 （构造对偶式求解）设，．约去得．解法三 （自身代换构造方程求解），平方 ．用心 爱心 专心4得方程，从而解得．解法四 （构造同形方程）设，则同时满足该同形方...
