第 23 讲 正弦定理与余弦定理本专题涉及到的知识点是正、余弦定理及三角形中的边角关系．三角形中边角关系处理的基本方法是化角为边或化边为角，以及向量方法的运用．A 类例题 例１ 在中，分别是角的对边，设．求的值．（１９９８年全国高考卷）分析 化角为边转化为三角关系处理．解 由正弦定理及角变换求解．由，得 ．再由三角形内角和定理及得，所以 ，，又，代入到中得，由得，从而，所以．例２．已知的三个内角满足：，，求的值．（１９９６年全国高考卷）分析 通过角换元，利用两角和差公式得方程求值．解 由 题 设 知，， 设， 则， 可 得代入条件中得展开得，用心 爱心 专心1BCAD化简得，即，从而求出即．例３ 在中，已知，边 上 的 中 线，求的值．（２００５湖北高考卷）分析 用坐标和向量方法求解．解 以为原点，为轴正向建立直角坐标 系 ， 且不妨设点在第一象限．由，得．设，则，由求出（另一负值舍去）．于是由数量积得，所以．情景再现１．在中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且．（１） 求的值；（２） 设，求的值．（２００５年全国高考卷Ⅲ）２．已知在中，，，求角的大小．B 类例题 例４ 内接于单位圆，三个内角的平分线延长后分别交此圆于点，求的值．（２００５年全国高中数学联赛）分析 用正弦定理化边为角转化为三角式处理．解 如图连接，则，用心 爱心 专心2CABA1B1C1故，同理，，代入原式得．例５ 在中，记，若，求的值．（１９９９年全国高中数学联赛）分析 综合运用正余弦定理，边角关系相互转化求解．解 由已知得，又由余弦定理，得，所以，所以，故．情景再现３．在中，求证：．C 类例题 例６．设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证（１）；（２）；（３）．分析 利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证．证明（１）由定比分点的向量形式得用心 爱心 专心3，由共线得，即，又，所以 图１即，由正弦定理可得．（２）由，得，由定比分点公式的向量形式有．又．下面求，，，所以．由得．所以代入即得证．（３）由（２）知，所以，由是 三 角 形 的 重 心 有得代 入 并 利 用 ：整理即得．用心 爱心 专心4IFDEABCHEFDBCA例７ 在非直角中，边长满足．（１） 证明：；（２） 是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．（２...
