南昌大学第三届高等数学竞赛卷（经济类）学院： 系别： 专业： 班级： 姓名： 学号： 考试日期： 2024 年 10 月 题号一二三四五六七八九十总分累 分 人 签名题分181864 100得分考生注意事项：1、本试卷共 5 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、 填空题(每小题 3 分，共 18 分) 得分评阅人 1、 设，曲线在点处的切线与轴的交点为，则 2、 设，则不可导点的个数为 3、 已知的一个原函数是，则 4、 若连续函数满足关系式，则＝ 5、 设，则在处的 15 阶导数 6、 二次积分化为极坐标系下的积分式为 二、 选择题(每小题 3 分，共 18 分) 得分评阅人 7、设、是恒正的可导函数，且，则当时，有（ ）（A） （B）（C） （D）8、已知在的某个邻域内连续，且，则在处，（ ）（A）不可导 （B）可导且 （C）取得极大值 （D）取得微小值9、设是已知的连续函数，，（其中），则积分的值（ ）（A）依赖于 （B）依赖于（C）依赖于，不依赖于 （D）依赖于 ，不依赖于10 、 设 在 区 间上 ，，，， 记，，，则（ ）（A） （B）（C） （D）11、设是变元的可微函数，是由方程所定义的隐函数，其中为常数，则有（ ）（A） （B）（C） （D）12、设为正项级数，则下列结论正确的是（ ）（A）若，则级数收敛；（B）若存在非零常数，使得，则级数发散；（C）若级数收敛，则；（D）若级数发散，则。一、 计算证明题 (共 64 分) 得分评阅人 13 、 （ 6 分 ） 设 其 中有 二 阶 连 续 导 数 ， 且，，求；并讨论的连续性。14、（6 分）设，求。15、（10 分）设是周期为（）的连续函数，证明：16、（8 分）某商品进价为元/件，根据以往的经验，当销售价为元/件时，销售量为件（、、为正数，且）。市场调查表明，销售价每下降 10％，销售量增加 40％。现决定一次性降价，试问：当销售价定为多少时，可获得最大的利润，并求最大利润。17、（8 分）设由方程确定，试求的极值。18 、 （ 8 分 ） 计 算 二 重 积 分， 其 中 D 是 由 直 线，和以 及 曲 线所围的平面区域。19、（10 分）求级数的收敛区间与和函数。20、（8 分）设在上有连续的二阶导数，，且对，，试证：
