中南民族大学数学竞赛试卷参考答案（2024，数学类）一、（本题共 15 分） 设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程
解：母线的方向数为
设是准线上的任意一点，则过点 的母线为且有
①令,则有带入①，消掉 ，得到,即为所求方程
二、（本题共 10 分）设，其中为任意复数，而，求 及
解 ： 易 知的 特 征 多 项 式 为
由Hamilton-Gaylay 定理知，其中为 阶单位阵
从而知，, 且
三、（本题 15 分）设时，方程只有一个解，求的取值范围
解：显然方程与下面的方程是同解的：
做辅助函数，则，
从而有， 的最大值为结合图像即可知道：当或者，原方程仅有 1 解
四、（本题 15 分）设在上连续，
求证：（1）存在唯一的，使得
（2）对任意的自然数 ，存在唯一的，使得 且
证明：（1）令，则
根据连续函数的介值性定理知道：存在使得
又，从而在上严格增加，从而是唯一的
••••••• 学院 专业 级 学号 姓名 （2）令, 同（1）可证得：存在唯一的 使得 注意到对任意的自然数 , 有，即对单调增加
再由关于 在上单调增加，有，即是单调下降的有界序列，设
最后因为定积分是其上下限变量的连续函数，令，则有，再由的唯一性，即可得到五、（本题 15 分）设 阶 Frobenius 阵 ，求的次幂，
解：记为第 个重量为 其他重量为长为的标准单位向量, 令表示的最后一列
由标准单位向量的性质可以知道：
设， 则 ①而 学院 专业 级 学号 姓名 ②由①②即得到：
六、（本题10分）设，，，证明：级数条件收敛
证 明 ：均 单 调 减 少 ， 趋 于 0 ， 且 易 知 道，从而知道数列单调减少且趋于0
由Leibniz判别法，即知收敛
因为发散，故有发散，从而结论得证
七、（本题 10 分）设与是复数域上的阶阵，满足
