中南民族大学数学竞赛试卷参考答案（2024，数学类）一、（本题共 15 分） 设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程.解：母线的方向数为. 设是准线上的任意一点，则过点 的母线为且有 . ①令,则有带入①，消掉 ，得到,即为所求方程.二、（本题共 10 分）设，其中为任意复数，而，求 及.解 ： 易 知的 特 征 多 项 式 为. 由Hamilton-Gaylay 定理知，其中为 阶单位阵.从而知，, 且.三、（本题 15 分）设时，方程只有一个解，求的取值范围.解：显然方程与下面的方程是同解的：.做辅助函数，则，. 从而有， 的最大值为结合图像即可知道：当或者，原方程仅有 1 解.四、（本题 15 分）设在上连续，.求证：（1）存在唯一的，使得.（2）对任意的自然数 ，存在唯一的，使得 且 .证明：（1）令，则.根据连续函数的介值性定理知道：存在使得. 又，从而在上严格增加，从而是唯一的. ••••••• 学院 专业 级 学号 姓名 （2）令, 同（1）可证得：存在唯一的 使得 注意到对任意的自然数 , 有，即对单调增加. 再由关于 在上单调增加，有，即是单调下降的有界序列，设. 最后因为定积分是其上下限变量的连续函数，令，则有，再由的唯一性，即可得到五、（本题 15 分）设 阶 Frobenius 阵 ，求的次幂，.解：记为第 个重量为 其他重量为长为的标准单位向量, 令表示的最后一列. 则. 由标准单位向量的性质可以知道：.设， 则 ①而 学院 专业 级 学号 姓名 ②由①②即得到：.六、（本题10分）设，，，证明：级数条件收敛.证 明 ：均 单 调 减 少 ， 趋 于 0 ， 且 易 知 道，从而知道数列单调减少且趋于0. 由Leibniz判别法，即知收敛. 因为发散，故有发散，从而结论得证.七、（本题 10 分）设与是复数域上的阶阵，满足.证明：必存在阶可逆复矩阵，使得和同为上三角矩阵.证明：取 维复空间的基，设与对应的线性变换分别为与 . 由于，故有.证明分下面两步（1）首先证明与有公共的一维不变子空间(也是特征子空间)，记为. (具体证明过程同高等代数教材 P326 习题 25)（2）将扩充成的一组基. 在该基下，与的矩阵分别为与.设基到基的过度矩阵为， 则再由可以计算得到.于是对可交换的阶 学院 专业 级 学号 姓名 矩阵，用归纳法，必存在阶可逆的复矩阵，使得和同为上三角矩阵.综上取即可使得和同为上三角矩阵.八、（本题 10 分）设在上二次连续可微，且满足.证明：.证明：令，则，因此，所以.①再由 Green 公式有，②其中 是外法线方向. 将②带入①，我们得到
