8.6 空间向量及其运算一、选择题1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析 若 c、a＋b、a－b 共面，则 c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c 为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故 c，a＋b，a－b 可构成空间向量的一组基底．答案 C2．以下四个命题中正确的是( )．A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若 a＋b、b＋c、c＋a 为共面向量，则 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ 不可能同时为 1，设 μ≠1，则 a＝b＋c，则 a、b、c 为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．答案 B3．有下列命题：① 若 p＝xa＋yb，则 p 与 a，b 共面；② 若 p 与 a，b 共面，则 p＝xa＋yb.③ 若MP＝xMA＋yMB，则 P，M，A、B 共面；④ 若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB.其中真命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析 其中①③为正确命题．答案 B4. 如图，在底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，M 是 AC 与 BD 的交点，若＝a，＝b，＝c 则下列向量中与相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋c D．－a－b＋c解析 ＝＋＝＋＋＝－a＋b＋c.答案 A5．如图所示，已知空间四边形 OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则 cos〈OA，BC〉的值为( )．A．0 B.C. D.解析 设OA＝a，OB＝b，OC＝c由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈OA，BC〉＝0.答案 A6．如图，在大小为 45°的二面角 A－EF－D 中，四边形 ABFE，CDEF 都是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是( )A.B.C．1D.解析 ＝BF＋FE＋ED，∴|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，故|BD|＝.答案 D7．下列命题中① 若 a∥b，b∥c，则 a∥c；② 不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是 a 与 b 不共线；③ 若非零向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且 λμ≠0)，则c...
