§8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1． 斜线和平面所成的角(1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．(2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．2． 二面角(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O，在两半平面内分别作射线 OA ⊥ l ，OB ⊥ l ，则∠AOB 叫做二面角 α—l—β 的平面角．3． 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．4. 点面距的求法如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，则 B到平面 α 的距离 d＝.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × )(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]． ( √ )(5)直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120°，则 l 和 α 所成角为 30°.( √ )(6)若二面角 α－a－β 的两个半平面 α、β 的法向量 n1，n2所成角为 θ，则二面角 α－a－β的大小是 π－θ. ( × )2． 已知二面角 α－l－β 的大小是，m，n 是异面直线，且 m⊥α，n⊥β，则 m，n 所成的角为 ( )A. B.C. D.答案 B解析 m⊥α，n⊥β，∴异面直线 m，n 所成的角的补角与二面角 α－l－β 互补．又 异面直线所成角的范围为(0，]，∴m，n 所成的角为.3． 在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n＝(2，－2,1)，已知点 P(－1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d ...
