2.5 特征值与特征向量课标解读1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义．2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)．3．利用矩阵 A 的特征值、特征向量给出 Anα 的简单表示，并能用它来解决问题.1．特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 Aα＝λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．2．特征多项式的定义设 A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式 f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc 称为 A的特征多项式．3．特征值与特征向量的计算设 λ 是二阶矩阵 A＝的特征值，α 为 λ 的特征向量，求 λ 与 α 的步骤为：第一步：令矩阵 A 的特征多项式 f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出 λ 的值．第二步：将 λ 的值代入二元一次方程组得到一组非零解，于是非零向量即为矩阵 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．4．Anα(n∈N*)的简单表示(1)设二阶矩阵 A＝，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任意一个特征向量，则 Anα＝λnα(n∈N*)．(2)设 λ1，λ2是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值λ1 ，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2为实数)，则 Anγ＝t1λα＋t2λβ(n∈N*)．1．特征值与特征向量的几何意义如何？【提示】 从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵 A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当 λ＝0 时，特征向量就被变换成了零向量．2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？【提示】 如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，1只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．3．如何求矩阵 A 幂的作用结果？【提示】 由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.特征值与特征向量的计算与应用 (1)求矩阵 A＝的特征值和特征向量；(2)已知二阶矩阵 A 的属于特征值－1 的一个特征向量为，属于特征值 3 的一个特征向量为，求矩阵 A.【思路探究】 (1...
