【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 新人教A版选修4-1

四直角三角形的射影定理课标解读1.了解射影定理的推导过程．2.会用射影定理进行相关计算与证明.1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，则有 CD2＝AD · BD .AC2＝AD · AB .BC2＝BD · AB .1．如何使用射影定理？【提示】 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．2．如何用射影定理证明勾股定理？1【提示】 如图所示，在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，CD⊥AB 于 D，则由射影定理可得 AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，则 AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，即 AC2＋BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】 直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，若 CD2＝AD·BD，则△ABC 为直角三角形．证明如下： CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又 CD2＝AD·BD，即 AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.又 ∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC 为直角三角形．与射影定理有关的计算 已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD 的值；(2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．2【思路探究】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值；再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值．最后由射影定理 CD2＝AD·BD，求得 CD 的长．【自主解答】 (1) AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝，∴＝()2＝()2＝，即 AD...