2025年人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质

2025 年人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质 27.2.2 相似三角形的性质1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为 k，其中 AD、A′D′分别为 BC、B′C′边上的高，那么 AD、A′D′之间有什么关系？二、合作探究探究点一： 相似三角形的性质【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，且 BE＝EC，BD、AE 相交于 F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比；(2)若 S△BEF＝6cm2，求 S△AFD.解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．解 ： (1) 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， 且 AD ＝BC，∴△BEF∽△AFD.又 BE＝2(1)BC，∴AD(BE)＝DF(BF)＝AF(EF)＝2(1)，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为 AD＋DF＋AF(BE＋BF＋EF)＝2(1)；(2) 由 (1) 可 知 △ BEF∽△DAF ， 且 相 似 比 为2(1)，∴S△AFD(S△BEF)＝(2(1))2，∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24cm2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4、6 题【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为 1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的相似比为( )A．1∶2 B.∶2C．1∶4 D.∶1解析： △ABC∽△A′B′C′，其面积比为 1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶＝∶2.故选 B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形 ABC 中，AD，CE 分别为 BC，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别为 18 和 8，DE＝3，求AC 边上的高．解析：求 AC 边上的高，先将高线作出，由△ABC 的面积为18，求出 AC 的长，即可求出 AC 边上的高． 解：过点 B作BF⊥AC，垂足为点F. AD⊥BC, CE⊥AB ， ∴ Rt△ADB∽Rt△CEB ， ∴ BE(BD) ＝ CB(AB) ， 即AB(BD) ＝ CB(BE) ， 且 ∠ ABC ＝ ∠ DBE ， ∴ △ EBD∽△CBA, ∴S△BCA(S△BED)＝(AC(DE))2＝18(8).又 DE＝3，∴AC＝4.5...