第四节 参数方程知识梳理一、参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 (*)并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程．二、圆的参数方程圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为 (θ 为参数)特别地，圆心在原点，半径为 r 的圆 x2＋y2＝r2的参数方程是 (θ 为参数)其中参数 θ 的几何意义是 OM0绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时，OM0转过的角度．三、椭圆的参数方程中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭 圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是 (φ 为参数)其中参数 φ 的范围为 φ∈[0,2π)．四、双曲线的参数方程中心在原点 O，焦点在 x 轴上的双曲线－＝1 的参数方程是 (φ 为参数)其中参数 φ 的范围为 φ∈[0,2π)，且 φ≠，φ≠注意：sec φ＝.五、抛物线的参数方程开口向右，焦点在 x 轴上的抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程是 (t 为参数)，其中参数 t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数，其范围为 t∈(－∞，＋∞)．六、直线的参数方程1．标准式．经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 θ 的直线的参数方程为 (t 为参数)其中，t 是直线上的定点 M0(x0，y0)到动点 M(x，y)的有向线段M0M的数量，即 M0M＝t，当点(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t＞0；当点(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t<0，当点(x，y)与点(x0，y0)重合时，t＝0.以上反之亦然．于是参数 t 的绝对值等于直线上的动点 M 到定点 M0的距离． 由于直线的标准参数方程 中 t 具有这样的几 何意义，所以在解决直线与二次曲线相交的弦长和弦的中点问题时，用参数方程来解决，方便了很多．2．点斜式． (t 为参数)其中，(x0，y0)表示该直线上的一点，表示直线的斜率．当 a，b 分别表示点 M(x，y)在 x 方向与y 方向的分速度时，t 就具有物理意义 ——时间，相应的 at，bt 则表示点 M(x，y)在 x 方向，y 方向上相对(x0，y0)的位移．七、渐开线与摆线的参数方程(了解)1．渐开线的参数方程． (φ 为参数)，其中 r 为基圆的半径，φ 为过切点的半径与 x 轴正方向所成的角．(如图1)1 图 1图 22．摆线的参数方程． (φ 为参数)，其中 r 为圆...
