第四节 二项式定理及其应用知识梳理1．二项式定理：n＝__________________________(n∈N*)．其通项是：Tr＋1＝________________(r＝0,1,2，…，n)，亦可写成：Tr＋1＝Canr.其中，C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，而系数则是字母前的常数．n＝________________________(n∈N*)．特别地：n＝__________________________(n∈N*)．答案：2．二项展开式系数的性质：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即____________________．(2)增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得________值．如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即 n 为偶数时：m ax ＝ Cn ；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大，即 n 为奇数时：max ＝ Cn ＝ Cn .(3)所有二项式系数的和等于 2n，即________________＝2n(用赋值法可以证明)．奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.答案：3．在使用二项展开式的通项公式 Tr ＋ 1 ＝Can－rbr时，要注意：(1)通项公式是表示第 r＋1 项，而不是第 r 项．(2)展开式中第 r＋1 项的二项式系数 C 与第 r＋1 项的系数不同．(3)通项公式中含有 a，b，n，r，Tr ＋ 1 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程(或方程组)．这里必须注意 n 是正整数，r 是非负整数，且 r≤n.4．证明组合恒等式常用赋值法．基础自测1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a ＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：由 x2的系数为 5 得 C＋aC＝5，解得 a＝－1.故选 D.答案：D2.8的展开式中常数项为( )11.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.A. B. C. D．105解析：原式展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝C()8－r·r＝rCx4－r.令 4－r＝0，则 r＝4.所以展开式中常数项为 4C＝.故选 B.答案：B3．(2013·揭阳一模)若二项式 n的展开式中，第 4项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6的系数为_______ _______．(用数字作答)解析：由题意可得，C＝C，解得 n＝9.因为 9的展开式的通项为Tr＋1＝rCx9－rx－＝r...
