课时分层作业十六导数的综合应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(-1)的大小关系为()A.f(-a2)≤f(-1)B.f(-a2)
0,f(x)为增函数;当-10),则h′(x)=.当x∈(0,1)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.所以a≤h(x)min=4.3.(2018·兰州模拟)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)0.4.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,所以y′=4πaR-.令y′=0,得=.5.设10,所以函数y=f(x)在(1,2)内为增函数.所以f(x)>f(1)=1>0,所以x>lnx>0⇒0<<1.所以<.又-==>0,所以<<.【方法技巧】破解解不等式或比较大小的关键(1)一是“构造函数”,通过观察所给的不等式的特点,适当构造函数.(2)二是利用导数法,判断所构造函数的单调性,利用其单调性,回归对原函数的符号的判断,即可得出正确的选项.二、填空题(每小题5分,共15分)6.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,如图,观察得-20),为使耗电量最小,则速度应定为________.【解析】令y′=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于040时,y′>0.所以当x=40时,y有最小值.答案:408.若关于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是________.【解析】令f(x)=x3-3x2-9x+2,则f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0,得x=-1或3(舍去).因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.所以f(x)的最小值为f(2)=-20,故m≤-20.答案:(-∞,-20]三、解答题(每小题10分,共20分)9.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程.(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=x2+x,所以当x=1时,f(1)=2,因为f′(x)=2x+1,所以f′(1)=3,所以所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=x3-x2-3x+m,则h′(x)=(x-3)(x+1).所以当-40;当-10.要使f(x)≥g(x)恒成立,即h(x)max≤0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+,h(4)=m-,所以m+≤0,即m≤-,所以实数m的取值范围为.10.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值.(2)若对于所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.【解析】函数f(x)=xlnx的定义域是(0,+∞).(1)f′(x)=1+lnx,令f′(x)=0,解得x=.当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.故f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以当x=时,函数f(x)取得最小值f=-.(2)依题意,得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a≤lnx+对于x∈[1,+∞)恒成立,即a≤,x∈[1,+∞).设g(x)=lnx+(x≥1),则g′(x)=-=,令g′(x)=0,得x=1.当x≥1时,因为g′(x)=≥...
