利用空间向量解决立体几何问题

利用空间向量解决立体几何问题 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直 ，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这四方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。一、怎样利用向量证明线面平行。方法：利用共面向量定理，如果两个向量 a,b 不共线，则向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在实数对 x,y，使 c=xa+yb。具体做法：若要证直线 l 与平面 α 平行，只要在 α 内找到二个不共线向量 a,b 在 l上取向量 c，证得 c=xa+yb(x,y∈R)即可。例 1、对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。 分析 要证明 EF、BC、AD 平行于同一平面 D F （E、F 分别为 AB、CD 的中点），只要证明相应 A E C向量 EF 与 AD、BC 共面即可。证明：如图，利用 B多边形加法法则可得， =++，=++…①。又 E、F 分别是 AB、CD 的中点，故有=-，=-…②将②代入①后，两式相加得2=+，∴ =+即与、共面，∴EF 与 AD、BC 平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。例 2、如图，已知 a⊥α,a⊥b,b￠α,求证 b∥α。证明：在 α 内作不共线向量 m,n b a、m、n 不共面，∴b=xa+ym+zn。 a两边同乘 a 得 a·b=x·a·a+y·a·m+z·a·n m a⊥b,a⊥m,a⊥n,∴a·b=0,a·m=0,a·n=0 n 得 x·a·a=0 而 a≠0,∴x=0,即 b=ym+zn ∴b、m、n 为共面向量，又 b￠α,b∥α。例 3、正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是 A1B 上的点，F 是 AC 上的点，且 A1E=2EB，CF=2AF，求证：EF∥平面 A1B1CD。 D1 C1证明： = + +…（1）=1+ ++…（2） A1 B1（1）×2+（2）并注意到=-2， D C=-2，=-， F E得 =- A B而 EF￠平面 A1B1CD，∴EF∥平面 A1B1CD。∴，、为共面向量。 二、怎样用向量求点到面的距离方法一：直接作出距离，然后用向量进行计算例 4：直三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱 AA1=，底面 ΔABC 中，∠C=90°，AC=BC=1，求点 B1到平面 A1BC 的距...