吉林省东北师范大学附属中学 2014-2015 学年高中数学 1-1.2.2.2双曲线的几何性质（2）学案 新人教 A 版选修 1-1课型：新授课 时间： 月 日学习札记〖学习目标及要求〗：1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。4、体现的思想方法：类比、设想。5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。〖讲学过程〗：一、预习反馈: 二、探究精讲:以双曲线标准方程为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。1、顶点：在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶感悟一：1点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。在初中学习反比例函数时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。高中三角函数，渐近线是。所谓渐近，既是无限接近但永不相交。3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e=，叫双曲线的离心率.说明：①由 c>a>0 可得 e>1；② 双曲线的离心率越大，它的开口越阔.感悟二：感悟三：2探究三：例 3．求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的方程。三、感悟方法练习：1、双曲线的性质：椭 圆双 曲 线不 同 点标准方程图 象范 围对 称 性顶 点渐 近 线1、 课本练习第 1，2 题〖备选习题〗：A． B．2 C． D．42. 求证：双曲线（）与双曲线有共同的渐近线。3
