吉林省东北师范大学附属中学 2015 届高考数学一轮复习 球与几何体的切接 A 导学案 文球与几何体的切接问题是近几年高考的热点，主要考察空间想象能力和逻辑思维能力,下面我们就近几年高考题对球与几何体的切接作深入的探究，从中掌握高考命题的趋势和高考的出题思路，从近几年全国高考命题来看 ,这部分内容主要出选择、填空，大题很少出。一、正方体与球的切接问题（1）、正方体的内切球，如图 1。 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r=a。（2）正方体的外接球，如图 2。位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r=a。（3）正方体的棱切球，如图 3。位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r=a。二、正四面体与球的切接问题（1）、正四面体的内切球，如图 4。位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的A1B1C1D1ABCDO图2A1B1C1D1ABCDO图1A1B1C1D1ABCDO图3中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 4R=h=a；（可以利用体积桥证明）（2）、正四面体的外接球，如图 5。位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 4R=3h=a；（可用正四面体高 h 减去内切球的半径得到）（3）、正四面体的棱切球，如图 6。位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 4R=a=；h=a。三、正方体、正四面体与球的切接问题的数据关系推导可以借用下面几何体的切接关系推导。正方体为 ABCD-A1B1C1D1、正四面体为 A1C1BD，图中两个球 O 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球和外接球，显然这两个球也是正四面体为A1C1BD 的棱切球与外接球，这样我们就不难从一维量棱长 a、A1B1C1D1ABCDO图7半径、直径、高；二维量表面积、全面积；三维量体积之间进行数据转换。把握以上正方体与正四面体与球的切接问题，以不变应万变，可以轻而易举解决高考题。四、近几年高考及高考摸拟中球与几何体的切接问题 1、07（湖南•理•8 题）棱长为 1 的正方体的 ...
