山东省临沭第二中学高一数学学科学案课题：基本不等式：【学习目标】1. 学会推导不等式，理解不等式的几何意义2. 知道算术平均数、几何平均数的概念3. 会用不等式求一些简单的最值问题【学习重点】 基本不等式的推导及应用【学习难点】 理解“当且仅当时取等号”的意义【自主学习】如图所示，这是我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的 24 届国际数学家大会上作为会标，你知道这其中含有哪些数学因素吗？设小直角三角形的两条边为，则正方形的边长为 则正方形的面积为 四个直角三角形的面积和为 < 思考：当中间的小正方形面积为 0 时，此时直角三角形是 ，即：（），由此可得： 新课：1.概念：一般地，对于任意的实数，我们有 当且仅当 时，等号成立。 特别的，如果 ，我们用分别代替，可得 我们通常把上式写成试试：利用不等式的性质推导第二个不等式证明过程：要证： ① 只需证 ②（两边平方）要证②只需证 0 ③ (右边的项移到左边)要证③只需证 （ - ④ 显然④成立，当且仅当时，等号成立.概念拓展：回忆数列中的等差中项和等比中项的概念，若两个实数，且 是的 ,也叫做的算术平均数 是的 ,也叫做的几何平均数 由基本不等式可得：的等差中项 的等比中项，即：的算术平均数 的几何平均数（，） 特别的，当时，的等差中项等于的等比中项，课堂练习：1.若>0,则 若 2.类型一：用篱笆围 一个面积为 100m2 的矩形菜园，问该矩形的长、宽分别是多少时，所用篱笆最短？ 设菜园的长为，宽为，则= ，篱笆的总长度表示为 由可得+ ，当等号成立时，所用篱笆最短，此时= = 类型二：一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少时，矩形菜园的面积最大？设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的面积表示为 由可得 ，当等号成立时，面积最大，此时= = 总结规律：两个实数且若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当时成立.若它们的和为定值，则它们的积有最 值，当且仅当时成立.【基础题组】1. 用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？2. 把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？把 18 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？4. 直角三角形的面积为 50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值为多少？【典型例题】题型一：利用基本不等式，一元二次函数，单调性等求最值例 1.（1）已知求的...
