山东省冠县武训高级中学高二数学 6.3 不等式的证明同步辅导教材VIP专享

6.3 不等式的证明一、本讲进度 6.3 不等式的证明 课本第 12 页至第 17 页二、本讲主要内容不等式证明的方法与技巧三、学习指导不等式的证明主要研究对绝对不等式的变形、化简。其原理是利用不等式的传递性从不等式的左端或右端适当地放大（或缩小）为右端或左端。不等式的性质是不等式证明的基础。不等式证明的常规方法有：比较法、综合法、分析法。比较法的研究对象通常是代数不等式，如整式不等式，分式不等式；综合法主要是用基本不等式及不等式的性质研究非负实数集内的绝对值不等式；当因题目条件简单或结论形式复杂而无法对不等式下手时，可考虑用分析法，但应注重格式，注意规范化用语。根据题目条件或结论的特殊形式，证明不等式还有一些技巧方法；换元法、反证法、放缩法、判别式法等。四、典型例题 【例 1】 设 a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b-1。解题思路分析：思路一：这是一个整式不等式，可考虑用比较法，在配方过程应体现将 a 或 b 看成主元的思想，在这样的思想下变形，接下来的配方或因式分解相对容易操作。作差 δ=a2+b2-ab-a-b+1=a2-(b+1)a+b2-b+1= =≥0思路二：注意到不等式两边式子 a2+b2与 ab 的结构特点，联想到基本不等式；为了得到左边的 a 与 b项，应用增减项法变形。增加若干项或减少若干项的技巧在本节应用得较为普遍。因 a2+b2≥2ab，a2+1≥2a， b2+1≥2b三式同向相加得：a2+b 2≥ab+a+b-1思路三：在思路一中，作差 δ 后得到关于 a 的二次三项式，除了用配方法，还可以联系二次函数的知识求解。记 f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1因二次项系数为正，△=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0∴ f(a)≥0 【例 2】 已知 00，首先将题目结论改造为 1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，即 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc≥0。这样的化简或变形（变形的目的也是化简）在绝大多数解题中都是需要的），而且是必要的。在变形过程中通常注意前后问题的等价性。其次在对欲证不等式左边的化简时，应从已知条件中寻找思路：由 a≤1，b≤1，c≤1 得：1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，因此在对 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc 因式分解时，应向 1-a，1-b，1-c 这三个因式靠拢，这样才便于判断整个因式的符号。由轮换式的特点，找准 1-a，1-b，1-c 中的一个因式即可。 1+ab+bc+ca-a-b-c-abc=(1-a)+b(a-1)+c(a-1)+bc(1-a)=(1-a)(1-b-c+bc)=(1-a)(1-b)(1-c)≥0 ...