山东省高密市第三中学高三数学 7.6 空间向量在立体几何中的应用复习导学案一、 知识梳理:１． 用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1∥l2(或 l1与 l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2，则 l∥α 或l⊂α⇔存在两个实数 x，y，使 v＝xv1＋yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔u1 ∥u2.２． 用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α⇔v∥u.(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1和 u2，则 α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.3． 空间向量与空间角的关系(1)设异面直线 l1，l2 的方向向量分别为 m1，m2，则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m，n，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．2°如图②③，n1，n2分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．二、课前自测：1． 若直线 l1，l2的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则 ( )A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1与 l2相交但不垂直 D．以上均不正确2． 已知二面角 α－l－β 的大小是，m，n 是异面直线，且 m⊥α，n⊥β，则 m，n 所成的角为 ( )A. B.C. D.３． 若平面 α 的一个法向量为 n＝(4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为 a＝(－2，－3,3)，则 l与 α 所成角的正弦值为_____________．４． 若 A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 n＝(x，y，z)，则 x∶y∶z＝________.三、典例分析：题型一 证明平行问题例 1 (2013·浙江改编)如图，在四面体 A－BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.证明：PQ∥平面 BCD....
