课时分层作业二十二两角和、差及倍角公式一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·成都模拟)计算:sin20°cos10°-cos160°·sin10°=()A.B.-C.-D.【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,则sin2θ=()A.-B.-C.D.【解析】选A.因为sin=,所以(sinθ+cosθ)=,两边平方得(1+sin2θ)=,解得sin2θ=-.3.(2018·大庆模拟)已知α,β都是锐角,且sinαcosβ=cosα(1+sinβ),则()A.3α-β=B.2α-β=C.3α+β=D.2α+β=【解析】选B.因为sinαcosβ=cosα(1+sinβ),所以sin(α-β)=cosα=sin,所以α-β=-α,即2α-β=.4.已知sinα=,sin=-,α,β均为锐角,则cos2β=()A.-B.-1C.0D.1【解析】选C.由题意知:cosα==,cos(α-β)==.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=.所以cos2β=2cos2β-1=2×-1=0.【变式备选】已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cosβ的值为()A.-B.C.D.-【解析】选C.因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα==,sin(α+β)==,故cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.5.若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=()A.B.C.D.【解析】选A.tanβ=tan[(α+β)-α]===.6.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上有一点A(3,-4),则sin(2θ+)的值为()A.B.-C.-1D.1【解题指南】先根据任意角三角函数的定义求出sinθ及cosθ的值,再用诱导公式及倍角公式求解.【解析】选B.由题意知sinθ=,cosθ=,故sin=cos2θ=cos2θ-sin2θ=-=-.7.(2018·郑州模拟)已知sinα+cosα=,则sin2=()A.B.C.D.【解析】选B.因为sinα+cosα=,所以1+2sinαcosα=,即2sinαcosα=-,因此sin2==(1-2sinαcosα)=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·江苏高考)若tan=,则tanα=______________.【解析】tanα=tan===.答案:9.(2018·长沙模拟)已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P点的纵坐标为,Q点的横坐标为,则cos∠POQ=__________.【解题指南】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值,利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP和sin∠xOQ,再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)的值.【解析】由题意可得,sin∠xOP=,cos∠xOQ=,所以cos∠xOP=,sin∠xOQ=.所以cos∠POQ=cos(∠xOP+∠xOQ)=cos∠xOP·cos∠xOQ-sin∠xOP·sin∠xOQ=×-×=-.答案:-10.(2018·青岛模拟)在锐角△ABC中,B>,sin=,cos=,则sin(A+B)=__________.【解析】因为sin=,所以cos=±,因为cos=-<-=cosπ,所以A+>⇒A>(舍),所以cos=,由cos=⇒sin=,所以sin(A+B)=sin=sincos+cossin=×+×=.答案:1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,则等于()A.5B.-1C.6D.【解析】选A.因为sin(α+β)=,所以sinαcosβ+cosαsinβ=.①因为sin(α-β)=,所以sinαcosβ-cosαsinβ=.②①+②得sinαcosβ=.②-①得cosαsinβ=.==5.2.(5分)化简:·=________.【解析】原式=tan(90°-2α)·=··=··=.答案:3.(5分)(2018·大连模拟)已知cos4α-sin4α=且α∈,则cos=________.【解析】因为cos4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α=cos2α=,又因为α∈,所以2α∈(0,π),故sin2α==,所以原式=cos2αcos-sin2αsin=×-×=-.答案:-4.(12分)已知α,β均为锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值.(2)求cosβ的值.【解题指南】(1)根据α,β的范围,利用同角三角函数的基本关系求得sin(α-β)的值.(2)由(1)可得cos(α-β)的值,根据已知求出cosα的值,再由cosβ=cos[α-(α-β)],利用两角差的余弦公式求得结果.【解析】(1)因为α,β∈,从而-<α-β<.又因为tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函数的基本关系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因为α为锐角,sinα=,所以cosα=.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.5.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)由题意,OA=OM=1,因为S△OAM=和α为锐角,所以sinα=,cosα=.又点B的纵坐标是.所以sinβ=,cosβ=-,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=-.(2)因为cos2α=2cos2α-1=2×-1=-,sin2α=2sinα·cosα=2××=,所以2α∈.因为β∈,所以2α-β∈.因为sin(2α-β)=sin2α·cosβ-cos2α·sinβ=-,所以2α-β=-.
