考情分析考点新知证明不等式的基本方法．①了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法.②能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.1.设a、b∈R＋，试比较与的大小．解： ()2－＝≥0，∴≥.2.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．解：(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为.3.设a、b、m∈R＋，且<，求证：a＞b.证明：由<，得－＝＜0.因为a、b、m∈R＋，所以b－a＜0，即b＜a.4.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．解： a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.5.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>1，n∈N*)的过程中，用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.解：当n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋，故左边增加的式子是＋－，即A＝.1.不等式证明的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2)综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3)分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2.不等式证明的其他方法和技巧(1)反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2)放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用传递性达到证明的目的．(3)数学归纳法[备课札记]题型1用比较法证明不等式例1求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.证明： (a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0.∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.已知a>0，b>0，求证：＋≥＋.证明：(证法1) －(＋)＝＋＝＋＝＝≥0，∴原不等式成立．(证法2)由于＝＝＝－1≥－1＝1.又a>0，b>0，>0，∴＋≥＋.题型2用分析法、综合法证明不等式例2已知x、y、z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.证明：(证法1：综合法)因为x、y、z都是正数，所以＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.(证法2：分析法)因为x、y、z均为正数，要证＋＋≥＋＋.只要证≥，只要证x2＋y2＋z2≥yz＋zx＋xy，只要证(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0，而(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．已知a>0，求证：－≥a＋－2.证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．题型3均值不等式与柯西不等式的应用例3求证：≥.证明： (12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴≥，即≥.若实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，求x2＋y2＋z2的最小值．解： (12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．证明：(1)当n＝5时，25>52，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N，k≥5)时，结论成立，即有2k>k2，那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝2·2k>2·k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)2＝右边.∴也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．∴由(1)、(2)可知，不等式2n>n2对n∈N，n≥5时恒成立．例4求函数y＝＋的最大值．解： y2＝(＋·)2≤[12＋()2](1－x＋2＋x)＝3×3，∴y≤3，当且仅当＝时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3.(2011·湖南改编)设x、y∈R，求的最小值．解：由柯西不等式，得≥(1＋2)2＝9.∴的最小值为9.1...
