数学：4.7《“黄金数”与优选法》教案（人教A版选修）VIP专享

“黄金数”与优选法两千多年前，古希腊数学家欧多克斯发现：如果将一条线(AB)分割成大小两段(AP、PB)，若小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比的话，那么这一比值等于 0.618…，用式子表示就是：(PB)／(AP)=(AP)／(AB)=0.618……。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是 0.168…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是 137 度 28'，这恰好是把圆周分成 1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学 0.168…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与 0.168…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的 0.168…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的 0.168…处，能使琴声更加柔和甜美。 数字 0.168…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题(如：十等分、五等分圆周；求 18 度、36 度角的正弦、余弦值等)，而且还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在 1000—2000 克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在 1000 克与 2000 克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点(即 1500 克)作试验。 然后将试验结果分别与 1000 克和 2000 克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的 0.618 处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的 0.618 处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618 法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618 法”做 16 次试验就可以完成“对分法”做 2500 次试验所达到的效果。因此大画家达·芬奇把 0.618…称为黄金数。用心 爱心 专心