递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列…)，求通项公式。参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为，由初始条件可知， ，解之得，所以。这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设 ，用心 爱心 专心 115 号编辑令，即，当时可得，知数列是以 为公比的等比数列，将代入并整理，得.将上述参数法类比到二阶线性递推数列能得到什么结论？仿上，我们来探求数列的特征：不妨设，则, 令 ①（1）若方程组①有两组不同的实数解,则, ,即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得, , 由上两式消去可得.（2）若方程组①有两组相等的解，易证此时，则用心 爱心 专心 115 号编辑…，,即是等差数列，由等差数列性质可知，所以．（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去 即得，显然、 就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为其特征方程为，1、 若...
