高考达标检测（三十九）抛物线命题3——角度求方程、研性质、用关系一、选择题1．若点P到直线x＝－3的距离比它到点(2,0)的距离大1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选D依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．2．过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝()A．1B．2C．3D．4解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以p＝2.3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选C依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.4．已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝()A．4B．5C．6D．7解析：选D F是抛物线x2＝8y的焦点，∴F(0,2), 抛物线上的点A到x轴的距离为5，∴|AF|＝5＋＝7.5.已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，一条长度为4p的线段AB的两个端点A，B在抛物线C上运动，则线段AB的中点M到y轴距离的最小值为()A．2pB.pC.pD．3p解析：选C由题意可得抛物线的准线l：x＝－，分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H.在直角梯形ABDC中，|MH|＝.由抛物线的定义可知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|(F为抛物线的焦点)，∴|MH|≥＝＝2p，即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为2p，∴线段AB的中点M到y轴的最短距离为2p－＝.6．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，直线l：y＝m(x－1)与抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，若|FA|＝3|FB|，则m的值为()A．3B.C.D.解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x，得my2－4y－4m＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.由|AF|＝3|BF|，可得y1＝－3y2，所以－2y2＝，－3y＝－4，解得m＝(m＝－舍去)．二、填空题7．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．又F(1,0)，所以AC＝(－1,0)，AF＝(1，－a)，由题意得AC与AF的夹角为120°，故cos120°＝＝－，解得a＝，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－)2＝18．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，P，Q是C上任意两点，点M(0，－1)满足MP·MQ≥0，则p的取值范围是________．解析：过M点作抛物线的两条切线，设切线方程为y＝kx－1，切点坐标为A(x0，y0)，B(－x0，y0)，由y＝，得y′＝x，则解得k＝±. MP·MQ≥0恒成立，∴∠AMB≤90°，即∠AMO≤45°，∴|k|≥tan45°＝1，即≥1，解得p≤2，由p＞0，则0＜p≤2，∴p的取值范围为(0,2]．答案：(0,2]9．已知点P在抛物线y＝x2上，点Q在圆C：(x－4)2＋2＝1上，则|PQ|的最小值为__________．解析： 点P在抛物线y＝x2上，∴设P(t，t2)， 圆(x－4)2＋2＝1的圆心C，半径r＝1，∴|PC|2＝(4－t)2＋2＝t4＋2t2－8t＋，令y＝|PC|2＝t4＋2t2－8t＋，则y′＝4t3＋4t－8，由y′＝0，可得t3＋t－2＝0，解得t＝1.当t＜1时，y′＜0，当t＞1，y′＞0，可知函数在t＝1时取得最小值，|PC|＝，∴|PQ|的最小值为－1.答案：－1三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．解：(1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x.(2)依题意，直线AB的方程为y＝2x－4.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，联立得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，∴|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.∴|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝10－4＝6.11．已知动点P到点的距离比它到直线x＝－的距离小2.(1)求动点P的轨迹方程；(2)记P点的轨迹为E，过点S(2,0)，斜率为k1的直线交E于A，B两点，Q(1,0)，延长AQ，BQ与E交于C，D两点，设CD的斜率为k2，证明：为定值．...
