2.2 热点小专题一、函数的零点及函数的应用必备知识精要梳理1.零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,此时这个 c 就是方程 f(x)=0 的根.2.函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象交点的横坐标.3.判断函数零点个数的方法:(1)利用零点存在性定理判断法;(2)代数法:求方程 f(x)=0 的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.关键能力学案突破热点一判断函数零点所在的区间 【例 1】(1)如图是二次函数 f(x)=x2-bx+a 的部分图象,则函数 g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(2)(2020 湖北恩施高中月考,理 11)已知单调函数 f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f([f(x)-log2x])=3,则函数 g(x)=f(x)+x-7 的零点所在的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解题心得判断函数 y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有 f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.【对点训练 1】设定义域为(0,+∞)的单调函数 f(x)对任意的 x∈(0,+∞),都有 f[f(x)-ln x]=e+1,若 x0是方程 f(x)-f'(x)=e 的一个解,则 x0可能存在的区间是( )A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)热点二判断函数零点的个数【例 2】函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4解题心得判断函数 y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与 x 轴交点的个数来判断.【对点训练 2】(2020 山东滨州二模改编,16)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 6 的周期函数,若函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数 y=f(x)在区间[-n,n](其中 n∈N*)上的零点的个数的最小值为 an,则 a11= . 热点三已知函数零点个数求参数范围【例 3】(2020 山东潍坊二模,16)已知函数 f(x)={ln x, x≥1,2x3-3 x2+1, x<1,当 x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为 ,设 g(x)=[f(x)]2-...
