§8.3 抛物线的定义和标准方程（二）【复习目标】1． 重视过抛物线的焦点的弦的一般性质，会求抛物线的焦半径；2． 在解题中善于运用抛物线的定义及性质，简化运算。【课前预习】1.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和这抛物线相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则 x1x2= ,y1y2= .2.若 AB 垂直于抛物线的对称轴，则称线段 AB 为抛物线的通径。|AB|= .3.设 P(x0,y0)是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点，则 P 到抛物线焦点 F 的距离|PF|称为 P 点的焦半径。|PF|= ；直线 AB 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)（AB 则为抛物线的焦点弦），则|AB|= 。4.已知抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点的弦为 AB，且|AB|=5，又 xA+xB=3，则 p= 。5.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在 y 轴上；②焦点在 x 轴上；③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；④抛物线的通径的长为 5；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。能使这抛物线的方程为 y2=10x 的条件是 （要求填写合适条件的序号）。【典型例题】例 1 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BC∥轴。证明：直线 AC 经过原点 O.例 2 已知圆 C 过定点 A(p,0)，其中 p>0，圆心 C 在抛物线 y2=2px 上运动，MN 为圆 C 在 y轴所截得的弦。（1）证明：|MN|是否随圆心 C 的运动而变化？证明你的结论。（2）当|OA|恰为|OM|与|ON|的等差中项时，试判定抛物线的准线与圆 C 的位置关系。例 3 如图，抛物线与过点 M（0，－1）的直线 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若 OA 和 OB 的斜率之和为 1，求直线 的方程。【巩固练习】1． 过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线与 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为p,q，则等于 （ ）A．2a B． C．4a D．2． 抛物线 y2=2x 上的两点 A、B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 。【本课小结】【课后作业】1.已知抛物线 y2=12x 上位于对称轴两侧的两点 A、B 和焦点 F 的距离分别为 6 和 15，过AB 的中点 M 作对称轴的垂线交抛物线于 N 和 N，，求点 N 和 N，到焦点 F 的距离。2.过抛物线 y=ax2(a>0)的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OP 和 OQ，求证：直线 PQ 恒过一个定点。3.已知 AB 是过抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点 F 的弦，过 AB 的中点 M 作 x 轴的平行线交抛物线于 P，求证：|AB|=4|FP|.4.设 M 是 抛 物 线上 一 点 ， MN⊥x 轴 于 N ， Q 为 抛 物 线 上 一 点 且AOBMyx，T 为 y 轴上一点，T、M 在 x 轴同侧，，求证：T、Q、N 三点共线。
