9.3 直线与平面垂直【复习目标】1． 掌握直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题；2． 证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现，而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理；3． 会用数学语言及符号正确、规范地写出解题的完整过程。【课前预习】1.空间直线与平面的位置关系分类：2.如果直线平面，①若直线，则；②若，则；③若， 则； ④ 若， 则。 上 述 判 断 正 确 的 是 ： （ ）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④3.点 P 不在三角形 ABC 所在的平面内，过 P 作平面，使三角形 ABC 的三个顶点到的距离相等，这样的平面共有 （ ）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个4.如图，在四面体 ABCD 中，CD⊥BD，CD⊥AD，过△ABC 内一点 P 画一直线与 CD 垂直，应如何画？说明理由。5.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是 。【典型例题】例 1 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD⊥平面 ABC，AE⊥BD 于 E，AF⊥CD 于 F，求证：BD⊥平面 AEF.BDCAFE例 2 求证：正三棱柱三个侧面的三条两两异面的对角线中，只要有一对互相垂直，另两对也互相垂直。【巩固练习】1.P-ABCD 是四棱锥，则四个侧面三角形中为直角三角形的最多个数为 （ ）A．1 B．2 C．3 D．42.P 是△ABC 所在平面外的一点，P 在平面 ABC 内的射影是 O，①若 PA=PB=PC，则 O 是△ABC 的外心；②若 P 到△ABC 的三边所在直线的距离相等，且 O 在△ABC 内，则 O 是△ ABC 的 内 心 ； ③ 若 PA 、 PB 、 PC 两 两 互 相 垂 直 ， 则 O 是 △ ABC 的 垂 心 ； ④ 若PA=PB=PC，且 O 在边 AB 上，则△ABC 是直角三角形。正确的命题是 。3.（2003 全国卷·理 16）下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 ⊥面 MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）【本课小结】【课后作业】1.已知：AB，CD，B、D 是垂足，AC，=MN，求证：MNBD.2.如图，ABCD 是矩形，AB=a，BC=b（），沿对角线 AC 把⊿ADC 折起，使 AD⊥BC.（1）求证：BD 是异面直线 AD 与 BC 的公垂线；（2）求 BD 的长。3.已知 PD 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AD、PB的中点（如图），求证：MN⊥AD. 4.在长方体 AC1 中，已知 AB=BC=a，BB1=b （b>a），连结BC1，过 B1作 B1E⊥BC1交 CC1于 E，交 BC1于 Q。（1）求证：AC1⊥平面 EB1D1；（2）求点 C1到平面 B1ED1的距离。
