§14.1 矩阵与变换一、考试要求：内容要求ABC矩阵与变换矩阵的概念√二阶矩阵与平面向量√常见的平面变换√矩阵的复合与矩阵的乘法√二阶逆矩阵√二阶矩阵的特征值与特征向量√二阶矩阵的简单应用√3．几种常见的平面变换：① 恒等变换：恒等变换矩阵（也叫单位矩阵）；②（垂直）伸压变换：垂直伸压变换矩阵：，；③ 反射变换：反射变换矩阵：如，，；④ 旋转变换：旋转变换矩阵：（ 叫旋转角）；⑤ 投影变换：投影变换矩阵：如，；⑥ 切变变换：切变变换矩阵：；4．①逆矩阵的定义：对于二阶矩阵，若有，则称（）是可逆的，（）称为（）的逆矩阵。② 一 般 地 ， 对 于 二 阶 可 逆 矩 阵， 它 的 逆 矩 阵 为。③ 若二阶矩阵均存在逆矩阵，则也存在逆矩阵，且。④ 已知为二阶矩阵，，若矩阵存在逆矩阵，则。5．二阶行列式：16．①二阶矩阵的特征多项式：② 若是矩阵的两个特征向量，是平面上任一向量，则存在，使得，则有，进一步得 三、典型例题：例 1：（1）在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标 O(0,0)，A(2,0)，B(1,)，求△OAB 在矩阵的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵，。（2）设，若矩阵把直线 ：变换为另一直线：，求的值.例 2：（1）给定矩阵 M=，N=及向量 e1=，e1= .① 证明 M 和 N 互为逆矩阵；② 证明 e1和 e1都是 M 的特征向量．（2）二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).① 求矩阵 M 的逆矩阵；② 设直线 在变换 M 作用下得到了直线 m：2x－y=4，求 的方程．（3）利用逆矩阵的知识解方程组。例 3：（1）已知矩阵，求特征值 λ1，λ2及对应的特征向量 α1，α2．2（2）若矩阵 A 有特征值，它们所对应的特征向量分别为和，①求矩阵 A 及其逆矩阵；②已知，试求例 4：（1）为了保证信息安全传输，设计一种密码系统，其加密、解密原理如下图： 现在加密方式为：把发送的数字信息，写为“”的形式，先左乘矩阵，再左乘矩阵，得到密文，现在已知接收方得到的密文是，试破解该密码。 四、课堂小结：五、千思百练：1．(2008·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2＋y2＝1 在矩阵 A＝对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方程．2．(2011·江苏卷)已知矩阵 A＝，向量 β＝.求向量 α，使得 A2α＝β.3明文 X 加密 密文 Y 发送 密文 Y 解密 明文 X３．(2012·江苏卷)已知矩阵 A 的逆矩...
