§10.6 空间向量的应用（理）一、考点要求：内 容[要 求ABC空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量√空间向量的应用√学习目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；会用量法求异面直线的所成角；会用向量求线面角；会用向量求面面角；会用向量求距离。二、知识要点：1．直线的方向向量：把直线 上的向量 以及与 的向量叫做直线 的方向向量。2．平面的法向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线 于平面，那么称向量垂直于平面，记作。此时，我们把向量 叫做平面的法向量。平面的法向量的求法：3．空间线面关系的判定：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式 cosθ＝． 7．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 l1、l2，AB 为其公垂线段，C、D 分别为 l1、l2上的任意一点， 为与共线的向量，则｜｜＝.8．设平面 α 的一个法向量为 ，点 P 是平面 α 外一点，且 Po∈α，则点 P 到平面 α 的距离是d＝.三、典型例题：例 1．如图所示，已知直三棱柱 ABC－A1B1C1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且 AB＝AA1，D、E、F 分别为 B1A、C1C、BC 的中点．求证：(1)DE∥平面 ABC； (2)B1F⊥平面 AEF.平行垂直与与与1例 2．如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，∠ABC＝.OA⊥底面 ABCD，OA＝2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点．(1)证明：直线 MN∥平面 OCD；(2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小． 例 3．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，F 是棱 BC 的中点，点 E 在棱C1D1上，且 D1E＝λEC1(λ 为实数)．(1)当 λ＝时，求直线 EF 与平面 D1AC 所成角的正弦值的大小；(2)求证：直线 EF 不可能与直线 EA 垂直．例 4．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2 ，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角 A－PC－D 的正弦值；(3)设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为30°，求 AE 的长．2四、课后练习：1．.如图,在六面体中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,四边形是边长为 1 的正方形,平面,平面 ABCD，DD1=2。(Ⅰ)求证:与 AC 共面，与 BD 共面. (Ⅱ)求证:平面 (Ⅲ)求二面角的大小.2. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点 E ...
