江苏省江阴高级中学高中数学教案：05-平面向量 (9)

第十二教时教材：平面向量的数量积的运算律目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。过程：一、 复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质2．判断下列各题正确与否： 1若 a = 0，则对任一向量 b，有 ab = 0。 ( √ ) 2若 a  0，则对任一非零向量 b，有 ab  0。 ( × ) 3若 a  0，ab = 0，则 b = 0。 ( × ) 4若 ab = 0，则 a 、b 至少有一个为零。 ( × ) 5若 a  0，ab = ac，则 b = c。 ( × ) 6若 ab = ac，则 b = c 当且仅当 a  0 时成立。 ( × ) 7对任意向量 a、b、c，有(ab)c  a(bc)。 ( × ) 8对任意向量 a，有 a2 = |a|2。 ( √ )二、 平面向量的运算律1．交换律：a  b = b  a证：设 a，b 夹角为，则 a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a2．( a)b = (ab) = a( b)证：若 > 0，( a)b = |a||b|cos， (ab) = |a||b|cos， a( b) = |a||b|cos， 若 < 0，( a)b =| a||b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos， (ab) = |a||b|cos， a( b) =|a|| b|cos() =  |a||b|(cos) = |a||b|cos。3．(a + b)c = ac + bc 在平面内取一点 O，作= a, = b，= c， ∵a + b （即）在 c 方向上的投影 等于 a、b 在 c 方向上的投影和， 即：|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 ∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2 ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc4．例题：P118—119 例二、例三、例四 （从略）三、 应用例题：（《教学与测试》第 27 课 P156 例二、例三）例一、已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a  5b 垂直， a  4b 与 7a  2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。 解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2 设 a、b 的夹角为，则 cos = ∴ = 60例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 解：如图： ABCD 中：，，= ∴||2= 而= ∴||2= ∴||2 + ||2 = 2= 四、 小结：运算律五、 作业： P119 习题 5.6 7、8 《教学与测试》P152 练习用心 爱心 专心A B D CA B D C12abABOA1B1Cc