江苏省苏州市第五中学高三数学 数列综合问题复习教学案教学目标：通过研究数列的特征和性质，让学生掌握判定数列中的项的常用方法，学会处理数列单调性的相关问题，从而提高学生对问题分析、转化与突破的能力.教学重点：求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性.教学难点：方程整数解的存在性判定，离散型不等式恒成立的转化.教学过程：开场白，明确本课的主题.研究对象：通项与和式；研究模型：等差数列和等比数列.研究问题：(1)判断是否为数列中的项；(2)数列中项的相关性质（最值与单调性）一．小题训练1.若数列满足：，则为数列中的第 项.2.若公差非零的等差数列中且成等比数列，则 .3.若数列的前项和为，其中，则 .参考答案：1.等差数列，从而，从而；或者.2.先求基本量，则，得，从而，即.3.判断为等差数列，从而；利用待定系数法，得，从而.二．例题分析1.判定从属关系例 1(必修 5，p32，习题 2.1，4)已知数列的通项公式是，是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？分析：只需要判定方程是否有正整数解.解：构建方程，则，解得或者，说明 56 是数列中的第 6 项.点评：处理关键是建立方程，从而加以求解.其可以通过因式分解或者配方的方法处理.变式 1：若数列的通项为，判断 56 是否为数列中的项？分析：此时基本的想法是构造方程，整理得：，现在问题是如何解？1方法 1：为了求未知数，经过分析，则说明为 54 的正因子，所以，此时已经缩小了范围，经过检查，每个都不是解，说明 56 不是其中的项.方法 2：利用方程与函数的关系，把方程的解转化成函数的零点，从而构造：，又，从而函数在单调增，又因为，从而根据零 点的存在性定理，知零点，故不存在正整数解，即 56 不是其中的项.点评：通过以上特殊问题的研究，不难发现判定项的问题，其实就是建立方程加以求解. 其方程具有特殊性，求整数解，除了可以利用函数的观点来处理，还可以有独特的处理方法，即因子分析加以缩小范围.真题 1(2009 江苏) 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)试求所有的正整数，使得为数列中的项. 分析：等差数列的基本量，题目中提供了两个等量关系，所以容易得到首相和公差，从而得到通项和和式.而第二小问，需要我们判断是否为其中的项，首先要具体化，从而来观察，发现分子两次，分母一次，希望“作 除法”的过程中没有余数，既能被整除.解答：(1)设公差为，则，由性质得，因为...
