第三讲 专题提能——“立体几何”专题提能课 失误 1因不会构造适当的几何体而解题受阻 [例 1] 已知三棱锥 SABC 的四个顶点 S，A，B，C 都是球 O 表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC＝1，则球 O 的体积等于________．[解析] 如图，可把该三棱锥补成正方体，正方体的体对角线即为外接球的直径，所以半径为，所以体积为 π×3＝π.[答案] π[点评] 学生对于本题往往不知道球心的位置而导致不会解答．把该三棱锥补成正方体来确定球心的位置是求解本题的关键之处，正方体的体对角线就是外接球直径.失误 2因不会利用侧面展开图而解题受阻 [例 2] 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝4 cm，AD＝2 cm，AA1＝3 cm，则在长方体表面上连结 A，C1两点的所有曲线长度最小值为________cm.[解析] 将长方体的面分别展开平铺，当四边形 AA1D1D 和四边形DD1C1C 在同一平面内时，最小距离为四边形 AA1C1C 的对角线，长度是＝；当四边形 AA1D1D 和四边形 A1B1C1D1在同一平面内时，最小距离为四边形 AB1C1D 的对角线，长度是＝；四边形 ABCD 和四边形 CDD1C1在同一平面内时，最小距离为四边形ABC1D1的对角线，长度是＝，所以最小距离是 cm.[答案] [点评] 该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径.失误 3因定理表述不严谨而导致丢分 [例 3] 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，求证：平面 BC1D∥平面 AB1D1.[证明] BD∥B1D1，BD⊄平面 AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1.∴BD∥平面 AB1D1，同理 BC1∥平面 AB1D1.又 BD∩BC1＝B，BD⊂平面 BC1D，BC1⊂平面 BC1D，∴平面 BC1D∥平面 AB1D1.[点评] 在证明面面平行时，有的同学喜欢跳步，直接由线线平行得到面面平行，少了由线线平行到线面平行的过程，在考试中是要被扣分的．立体几何逻辑性非常强，证明时要严格按照定理的要求来进行书写，切不可漏条件． 策略 1割补法：求不规则几何体的体积 [例 1] 如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．[解析] 法一：如图所示，分别过 A，B ...
