第 2 讲 解三角形、几何中的应用题[考情考向分析] 和三角形有关的应用题，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，进而解决实际问题；和几何图形有关的应用题，可以利用平面几何知识或者建立平面直角坐标系转化成解析几何问题，利用直线或者曲线方程解决．热点一 和解三角形有关的应用题例 1 如图所示，在某东西公交路线的南侧有一个临时停靠站台，为了方便乘客，打算在站台的一面东西方向的长方形墙体 ABHG 上用 AB＝5 m，BC＝1 m 的矩形角钢焊接成一个简易的遮阳棚(将 AB 放在墙上)．当太阳光线与水平线的夹角 θ 分别满足下列情况时，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚 ABCD 所在的平面与矩形 HEFG 所在的路面所成的 α 设置为多大角度？(1)θ＝90°；(2)θ＝80°.解 (1)如图 1，当 θ＝90°时，太阳光线垂直于地面，遮阳棚只有与地面平行时，遮阴面积最大，故遮阳棚 ABCD 所在的平面与水平面所成角 α＝0°.(2)如图 2，在平面 CBHE 内，过点 C 作直线 IJ，与直线 HE 交于 I，与直线 HB 的延长线交于J，并使得∠CIH＝80°，由题意可知，∠CBH＝α＋90°.在 Rt△IHJ 中，tan 80°＝＝，即 HI＝，欲使得 HI 取到最大值，只需 HB＋BJ 取到最大值，而站台高 HB 为定长，故只需 BJ 取到最大值即可．在△BCJ 中，∠BJC＝10°，∠BCJ＝α＋80°，由正弦定理得，＝＝，即 BJ＝，故当 α＝10°时，BJ 取到最大值，此时 HI 也取到最大值，又 S 阴＝GH×HI＝5HI，所以此时遮阳棚的遮阴面积最大．思维升华 用正、余弦定理去解决具体设计问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式求解．跟踪演练 1 如图，某公园有三条观光大道 AB，BC，AC 围成直角三角形，其中直角边 BC＝200 m，斜边 AB＝400 m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB，BC，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点 D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲晚 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且∠DEF＝，请将甲、乙之间的距离 y 表示为 θ 的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解 (1)依题意得 BD＝300 m，BE＝100 m，在△ABC 中，cos B＝＝，∴B＝，在△BDE ...
