江苏省高考数学二轮复习 专题七 应用题 规范答题示例6 应用题学案-人教版高三全册数学学案

规范答题示例 6 应用题典例 6 (14 分)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆 O 的圆心与矩形 ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F，G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为 1 m，且≥.设∠EOF＝θ，透光区域的面积为 S.(1)求 S 关于 θ 的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边 AB 的长度．审题路线图 (1)→→(2)→→→→→规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板解 (1)过点 O 作 OH⊥FG 于点 H，则∠OFH＝∠EOF＝θ，所以 OH＝OFsin θ＝sin θ，FH＝OFcos θ＝cos θ，2 分所以 S＝4S△OFH＋4S 扇形 OEF＝2sin θcos θ＋4×θ＝sin 2θ＋2θ，4 分因为≥，所以 sin θ≥，所以定义域为.6 分(2)矩形窗面的面积 S 矩形＝AD·AB＝2×2sin θ＝4sin θ.7 分则透光区域与矩形窗面的面积的比值为＝＋.8 分设 f(θ)＝＋，≤θ<.则 f′(θ)＝－sin θ＋＝＝＝，10 分因为≤θ<，所以 sin 2θ≤，所以 sin 2θ－θ<0，故 f′(θ)<0，所以函数 f(θ)在上单调递减．所以当 θ＝时，f(θ)有最大值＋，此时 AB＝2sin θ＝1(m).13 分答 (1)S 关于 θ 的函数关系式为 S＝sin 2θ＋2θ，定义域为；(2)当透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，边 AB 的长度为 1 m．14分第一步细审题，找关系：通过阅读题目，抓住关键信息，找出题目中影响结论的变量及其相互关系；第二步设变量，建模型：用字母表示变量，建立函数或其他数学模型；第三步用数学，解模型：利用函数或者其他数学知识方法解决数学模型；第四步要检验，来作答：检验问题的实际意义，最后进行作答.评分细则 (1)求出 OH，FH 的长度给 2 分；(2)求出 S 的表达式给 2 分，无定义域扣 2 分；(3)求出总面积的表达式给 1 分；(4)求出 f(θ)的表达式给 1 分；(5)正确求导 f′(θ)，给 2 分；(6)求出 f(θ)的最大值给 3 分，无最后结论扣 1 分．跟踪演练 6 (2018·启东期末)如图，在圆心角为 90°，半径为 60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料 OABC，其中点 O 为圆心，点 B 在圆弧上，点 A，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长...