听课随笔第 10 课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．如果 an≠0，且 an+12=anan+2对任意的 n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列.2．等比数列的递增和递减性.在等比数列{an}中(1)若 a1＞0，q＞1 或 a1＜0，0＜q＜1 则数列递增，(2)若 a1＞0,0＜q＜1,或 a1＜0，q＞1 ,则数列递减；(3)若 q=1，则数列为常数列；(4)若 q＜0，则数列为摆动数列.3．对于 k、l、m、n∈N*，若，则 akal= a man.；【选修延伸】【例 1】 （１）在等比数列{an}中，是否有 a2n＝an-1 an+1（ｎ≥２）？（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有 a2n＝an-1 an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？【解】（１）因为{an}是等比数列，所以∴成立．（2）不一定．例如对于数列０，０，０，…，总有 a2n＝an-1 an+1，但这个数列不是等比数列．【例 2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．【解】这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：用心 爱心 专心1.∴第个图形的周长为追踪训练一１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．【答案】这三个数为 1，3，9 或-1，3，-9 或 9，3，1 或-9，3，-1２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．【答案】 以为首项，为公比的等比数列3．在等比数列{an}中，如果 a6=6,a9=9，那么 a3等于( A )A.4 B. C. D.24.等比数列{an}的公比为 2，则的值为( A )A. B. C. D.1【选修延伸】【例 3】数列满足，①求证是等比数列；②求数列的通项公式。【解】① 证明： 又用心 爱心 专心2听课随笔 故 是等比数列② 解：是等比数列，且 故【例 4】在等比数列｛an｝中，已知 a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求 a10.【解】 由 a4a7＝－512 知，a3a8＝－512解方程组且 q 为整数得 (舍去)q＝∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512...
