河南省淇县 2011-2012 学年高一数学下学期 2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案 沪教版【温馨寄语】成功不是侥幸。【学习目标】⒈理解向量数乘的意义，掌握向量的数乘与这个向量的模和方向之间的关系．⒉ 掌握实数与向量数量积的运算律，并会用它们进行计算．⒊ 理解两个向量共线的条件，会根据条件判定两个向量共线．【学习过程】问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相 加可以转化为数乘运算，如 3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究. 探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考 1：已知非零向量 a，如何求作向量 a＋a＋a 和（－a）＋（－a）＋ （－a）？思考 2：向量 a＋a＋a 和（－a）＋（－a）＋（－a）分别如何简化其表示形式？思考 3：向量 3a 和－3a 与向量 a 的大小和方向有什么关系？思考 4：设 a 为非零向量，那么 a 和—a 还是向量吗？它们分别与向量 a 有什么关系？思考 5： 一般地，我们规定：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作 λa，该向量的长度与方向与向量 a 有什么关系？思考 6：如图，设点 M 为△ABC 的重心，D 为 BC 的中点，那么向量与, 与分别有什么关系？探究二:向量的数乘运算性质 思考 1：你认为－2×（5a），2a＋2b， () a 可分别转化为什么运算？思考 2：一般地，设 λ，μ 为实数，则 λ(μa)，(λ＋μ) a，λ(a＋b)分别等于什么？思考 3：对于向量 a（a≠0）和 b，若存在实数 λ，使 b=λa，则向量 a 与 b 的 方向有什么关系？思考 4：若向量 a（a≠0）与 b 共线，则一定存在实数 λ，使 b=λa 成立吗？思考 5：综上可得向量共线定 理：向量 a（a≠0）与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b=λa. 若 a＝0，上述定理成立吗？思考 6：若存在实数 λ，使，则 A、B、C 三点的位置关系如何？思考 7：如图，若 P 为 AB 的中点，则 与 、的关系如何？思考 8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b，以及任意实数 λ、x、y，λ(xa±yb）可转化为什么运算？理论迁移例 1 计算（1）（－3）×4a； （2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）
