浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 3.2.2 向量方法解决空间几何中的垂直问题导学案 新人教 A 版必修 2学习目标：1．能利用平面法向量证明两个平面垂直．2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系预案：1.平面法向量的求解步骤是什么？2.两直线垂直，则直线方向向量存在什么关系？3.线面垂直的判定定理是什么？4.面面垂直的判定定理是什么？教学过程：【探究】空间垂直关系用向量如何表示？(1)线线 垂直设 直 线 l ， m 的 方 向 向 量 分 别 为 a ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， b ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则 l⊥ma⇔ b__________⇔⇔ ．(2)线面垂直设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u＝(a2，b2，c2)，则 l⊥αa⇔ u________ _________ _⇔⇔_______ ．(3)面面垂直设 平 面 α ， β 的 法 向 量 分 别 为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝(a2，b2，c2)，则 α⊥βu⇔ v________ __________________________⇔⇔ ．【思考】你能归纳用向量法解决几何垂直问题的步骤吗？例题解析：例,1：如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱长为 2，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1的中点，求证：A 1O⊥平面 GBD.例 2：在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中 点，求证：平面BEF⊥平面 ABC.例 3：如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥平面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于 F.证明：PB⊥平面 DEF.当堂检测：1.若平面 α、β 的法向量分别为 a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且 α⊥β，则 x的值为 ( )．A．10 B．－10 C. D．－2. 若 a ＝ (2 ， － 1 ， 0) ， b ＝ (3 ， － 4 ， 7) ， 且 (λa ＋ b)⊥a ， 则 λ 的 值 是 ( )．A．0 B．1 C．－2 D．23.在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AB，BC 的中点，试在棱 BB1上找一点 M，使得D1M⊥平面 EFB课后作业：1.若 l 的方向向量为 (2，1，m)，平面 α 的法向 量为(1，，2)，且 l⊥α，则 m＝________．2.两平面 α、β 的法向量分别为 u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若 α⊥β，则 y＋z 的值是 ( )．A．－3 B．6 C．－6 D．－123.向量 a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面 α 内的两个不共线的向量，直线 l 的一个方向向量 m＝(2，3，1)，则 l 与 α 是否垂直？______(填“是”或“否”)．4.已知点 A，B，C 的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点 P 的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点 P 的坐标为________．5.在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P 为 DD1的中点，O 为底面 ABCD的中心，求证：OB1⊥平面 PAC.
