湖南省湘潭市凤凰中学 2014 年高中数学 2.2.3 向量数积学案 新人教A 版必修 4【学习目标】1. 掌握实数与向量积的定义，理 解实数与向量数积的几何意义；2. 让学生能由实数运算律类比向量数乘运算律，并且验证强化对知识的形成过程的认识，正确表示结果，掌握实数与向量的积的运算律；3. 能熟练运用实数与向量积的定义，运算律进行有关计算.【重点、难点】实数向量积的几何意义，用运算律进行计算。自主学习案【知识梳理】1. 向量的数乘我们 规 定实数 与向量 的积是一个向量，这种 运算叫作向量的数乘，记作 .它的长度和方向规定如下：（1）|λ |= ；（2）λ>0 时 λ 与 方向 ；λ<0 时 λ 与 方向 ；由（3）知λ=0 或 = 时，λ = ，方向 ；2. 实数与向量积的几何意义当|λ|>1 时，表 示向量的有向线段在原方向（>0）或反方向( <0)上伸长到原来的 倍,当 0<|λ|<1 时,表示向量 的有向线段在原方向（ >0）或反方向( <0)上到缩短到原来的____ 倍. 3．实数与向量积的运算律(1) 结合律：λ(μ )= ；(2)分配律：(λ+μ) = ，λ( + )=______ ;4.如果 （）与 共线，那么有且只有 一个实数 ，使 5.若存在使得 ，则三点 A,B,C 共线 .【预习自测】1、 设则下列叙述不正确的是（ ）A． B. C. D. 的方向与向量 的方向相同2. 已知若且向量 的方向与向量 的方向相反，则 λ 的值为（ ）A. 2 B.-2 C. D. 3. 设是任意的两个向量，，给出下面四个结论：（1）若 与 共线，则 （2）若，则 与 共线；（3）若，则 与 共线，（4）若则有使得其中，正确的结论有 （ ）A．（1）（2） B. （1）（3） C. （1）（3）（4） D. （2）（3）（4）【我的疑问】1合作探究案【课内探究】例1.化简(1) (2) 例 2. 如图，已知任意两个非零向量试作你能判断A,B,C 三点之间的关系吗？为什么？变式：设两个非零向量和不共线，如果=2+3，=6+23, =4-8，求证：A、B、D 三点共线.例 3．设 M,N,P 是三边 上的点，且满足,若试用 变 式 ： 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 相 交 于 点 M ， 且， 你 能 用表 示吗？2ABCPMNab【当堂检测】1化 简 ： （ 1 ） (2) 2. 、 为非零向量，且｜ + ｜=｜ ｜+｜ ｜则( )A. ∥ 且 、 方向相同B. = C. =-D.以上都不对3. 在△ABC 中，设, ,D、E 是 BC 边上的三等分点，则＝ ，＝ (用 b、c 表示).课后练习案1.化简_______________.2.已知＝，＝λ，则 λ 的值为( )A.- B.- C. D.3. 已知梯形 ABCD中，且＝2，M、N 分别为 CD、AB 的中点，若，，用 、 表示. 4. 已知任意两个非零向量，设，求证：A,B,D 三点共线。5. △ABC 中, =,EF∥BC 交 AC 于 F 点，设= ,= ,试用 ， 表示向量。34
