苏教版高中数学选修1-1抛物线2

抛物线【考点透视】一、考纲指要掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二、命题落点1．考察抛物线过焦点的性质,如例 1;2．抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例 2;3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例 3.【典例精析】例 1：(2005·全国 3) 设1122( ,),(,)A x yB xy两点在抛物线22yx上，l 是 AB 的垂直平分线，（1）当且仅当12xx取何值时，直线l 经过抛物线的焦点 F？证明你的结论；（2）当直线l 的斜率为 2 时，求l 在 y 轴上截距的取值范围. 解析:（1） 抛物线22yx，即22yx ，∴14p ， ∴焦点为1(0, )8F（i）直线l 的斜率不存在时，显然有12xx=0;（ii）直线l 的斜率存在时，设为 k，截距为 b, 即直线l ：y=kx+B．由已知得：12121212221kbkyyxxyyxx 2212122212122212222kbkxxxxxxxx  22121212212kbkxxxxxx  用心 爱心 专心2212104bxx14b即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0, )8F所以当且仅当12xx=0 时，直线l 经过抛物线的焦点 F（2）设l 在 y 轴上截距为 b， 即直线l ：y=2x+b，AB：12yxm．由2122yxmyx得2420xmx  ，∴1214xx，且10,32m  即，∴121211222164bmbyyxx ，∴551916163232bm．所以l 在 y 轴上截距的取值范围为9(,)32  例 2：（2005·广东）在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线2xy 上异于坐标原点O 的两不同动点Ａ、Ｂ满足BOAO （如图所示）（1）求 AOB得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（2） AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解析: （1） 直线 AB 的斜率显然存在，∴设直线 AB 的方程为bkxy，),(),,(2211yxByxA，依题意得用心 爱心 专心xyOAB0,,22bkxxyxybkxy得消去由，①∴kxx21，② bxx21 ③ OBOA ，∴02121yyxx，即 0222121xxxx，④ 由③④得，02 bb，∴)(01舍去或 bb∴设直线 AB 的方程为1kxy∴① 可化为 012 kxx，∴121xx ⑤， 设 AOB的重心 G 为),(yx，则33021kxxx ⑥ ， 32...