辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.1.7 柱锥台和球的体积二学案 北师大版必修 2自主学习 学习目标1．了解球的体积公式．2．会计算简单组合体的体积．3．培养学生的空间想象能力和思维能力． 自学导引1．球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．2．球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V＝__________.对点讲练 知识点一 球的体积和表面积的计算例 1 (1)球的体积是，则此球的表面积是( )A．12π B．16πC. D.(2)一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为 4 cm，则球的体积为( )A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3点评 遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解．变式训练 1 球的截面把垂直于截面的直径分成 1∶3 的两段，若截面圆半径为，则球的体积为( )A．16π B.C. D．4π知识点二 有关几何体的外接球与内切球问题例 2 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．点评 解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相关几何体的关系：① 长方体的 8 个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的 12 条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．② 球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．③ 球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．变式训练 2 有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．知识点三 综合应用例 3 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．点评 在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等．变式训练 3 一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球，在圆锥内又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积．1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半...
