辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.2.2 空间中的垂直关系（2）学案 北师大版必修 2自主学习 学习目标1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系． 自学导引1．如果两个相交平面的交线与第三个平面_____ _，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．2．如果一个平面过另一个平面的__________，则 两个平面互相垂直．3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．对点讲练知识点一 面面垂直的证明例 1 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，直线 SC⊥平面 ABCD，E 是 SA 的中点．求证：平面 EDB⊥平面 ABCD.点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是 90°(如例 1)．变式训练 1 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G 分别为 CD、DA 和对角线 AC 的中点．求证：平面 BEF⊥平面 BGD.知识点二 面面垂直的性质定理的应用例 2 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD；(2)求证：AD⊥PB.点评 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练 2 如图所示，四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，∠BCD＝120°，平面 PCD⊥平面 ABCD，PC＝a，PD＝a，E 为 PA 的中点．求证：平面 EDB⊥平面 ABCD.知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用例 3 如图所示，平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 ABC，AE⊥平面 PBC，E 为垂足．(1)求证：PA⊥平面 ABC；(2)当 E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法...
