课时提升作业(三十一)等比数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·北京模拟)已知x,y,zR,∈若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为()A.-3B.±3C.-3D.±3【解析】选C.由等比中项知y2=3,所以y=±,又因为y与-1,-3符号相同,所以y=-,y2=xz,所以xyz=y3=-3.【加固训练】(2015·福州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为()A.B.-C.D.-【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-①,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,因为{an}是等比数列,所以a1===②,由①②得x-=,解得x=.2.(2015·青岛模拟)在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是()A.10000B.1000C.100D.10【解析】选A.因为lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,由等比数列性质得a1a11=a3a9=,所以=106,又已知an>0,所以a6=102=100,因此a1a11=1002=10000,故选A.3.(2015·长春模拟)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=()A.11B.12C.14D.16【解析】选C.设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.4.已知等比数列{an}(nN*)∈中有a5a11=4a8,数列{bn}是等差数列,且a8=b8,则b7+b9等于()A.2B.4C.8D.16【解析】选C.b7+b9=2b8,又a5a11=4a8,所以=4a8,因为a8≠0,所以a8=4,即b8=4,所以b7+b9=2b8=8.【加固训练】已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()A.2B.4C.8D.16【解析】选D.因为数列{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则{an}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列【解析】选C.因为Sn=an-1(a≠0),所以an=即an=当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,数列{an}是一个等比数列.【加固训练】(2015·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a,nN*,∈则实数a的值是()A.-3B.3C.-1D.1【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{an}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=10,S2m=30,则S3m=.【解析】由等比数列的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列,所以10,20,S3m-30成等比数列,故10(S3m-30)=202,解得S3m=70.答案:70【加固训练】在正项等比数列{an}中,若++=81,则+=.【解析】因为a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,即=81,又a3>0,a5>0,故+=9.答案:97.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=.【解题提示】由2(an+an+2)=5an+1得q的方程求q,由=a10求a1即可求解.【解析】因为2(an+an+2)=5an+1,所以2an+2an·q2=5an·q,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).又因为=a10=a5·q5,所以a5=q5=25=32,所以32=a1·q4,解得a1=2,所以an=2×2n-1=2n,故an=2n.答案:2n8.在数列{an}中,若-=p(n≥2,nN*,p∈为常数),则称{an}“”为等方差数列.“”下列是对等方差数列的判断:①若{an}是等方差数列,则{}是等差数列;②已知数列{an}是等方差数列,则数列{}是等方差数列.{(-1)n}③是等方差数列;④若{an}是等方差数列,则{akn}(kN*,k∈为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为.【解析】对于①,由等方差数列的定义可知,{}是公差为p的等差数列,故①正确.对于②,取an=,则数列{an}是等方差数列,但数列{}不是等方差数列,故②错.对于③,因为-[(-1)n-1]2=0(n≥2,nN*)∈为常数,所以{(-1)n}是等方差数列,故③正确.对于④,若-=p(p≥2,nN*),∈则-=(-)+(-)+…+(-)=kp为常数,故④正确.答案:①③④三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·北京模拟)已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)数列{an+1-λan}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(nN*),∈求实数λ的值.【解析】(1)设数列{an}的公比为q,由条件得q3,3q2,q4成等差数列,所以6q2=q3+q4,解得q=-3,或q=2,由数列{an}的所有项均为正...
