课时提升作业(四十五)空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.ab,ac∥∥B.ab,a∥⊥cC.ac,ab∥⊥D.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以ac.∥又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以ab.⊥2.(2015·中山模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A.B.C.D.【解析】选D.因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),所以a与b不平行,又因为a,b,c三向量共面,则存在实数x,y使c=xa+yb,即解得λ=.故选D.【加固训练】(2014·洛阳模拟)O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断【解题提示】根据=x+y+z(x+y+z=1)⇒P,M,A,B四点共面判断.【解析】选B.因为=++,且++=1,所以A,B,C,P四点共面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:(①-)-;(②+)-;(③-)-2;(④+)+.其中与向量相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选A.(①-)-=-=;(②+)-=-=;(③-)-2=-2≠;(④+)+=+=≠,综上,①②符合题意.4.(2015·长沙模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为()A.19B.-C.D.【解析】选C.||==,所以当x=时,||min=.5.设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定【解题提示】通过·,·,·的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选C.·=(-)·(-)=·-·-·+2=2>0,同理·>0,·>0.故△BCD为锐角三角形.【加固训练】(2014·太原模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.(1,1,2)【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E.所以=(0,0,a),=,||=a,||===.又cos<,>=,所以=,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·安庆模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a(a+b),⊥则y的值为.【解析】a+b=(-2,-1+y,5),由于a(a+b),⊥所以a·(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,答案:127.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度.【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E,所以=,所以||==.答案:8.(2015·天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,(①++)2=32;②·(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确的序号是.【解析】①中,(++)2=2+2+2=32,故①正确;②中,-=,因为AB1A1C,⊥故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确,④中,|··|=0,故④也不正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·银川模拟)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),c=(0,0,1).(1)计算3a-2b及a·b.(2)求实数λ的值,使λa+2b与c垂直.【解析】(1)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1-4×8=-21.(2)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以λa+2b=(3λ+4,5λ+2,-4λ+16),因为(λa+2b)c,⊥所以(λa+2b)·c=0.因为c=(0,0,1),所以0+0-4λ+16=0,解得λ=4.10.(2015·唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,c∥,求c的坐标.【解析】(1)因为=(1,1,0),=(-1,0,2),所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=.所以cos
=||||abab==.(2)=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),因为|c|=3,c∥,所以=3,存在实数λ使得c=λ,即联立解得或所以c=±(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(2015·宜宾模拟)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()A.-1B.C.D.【解析】选D.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.2.(5分)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,ACl,BDl,⊥⊥且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2aB.aC.aD.a【解题提...
