第 15 讲 三角形及其基本性质一、选择题1．(2025·长沙)若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是( A )A．6 B．3 C．2 D．112．(2025·南京)下列长度的三条线段能够组成钝角三角形的是( C )A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，73．已知△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＋∠B＝( D )A．45° B．60° C．75° D．90°4．(2025·梧州)下列命题： ① 对顶角相等； ② 同位角相等，两直线平行； ③ 若 a＝b，则|a|＝|b|; ④ 若 x＝0，则 x2－2x＝0.它们的逆命题一定成立的有( D )A．①②③④ B．①④C．②④ D．②(导学号 02052260)5．(2025·达州)如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接DF 并延长交 AC 于点 E.若 AB＝10，BC＝16，则线段 EF 的长为( B )A．2 B．3 C．4 D．5第 5 题图 第 6 题图6．(2025·乐山)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝( C )A．35° B．95° C．85° D．75°(导学号 02052261)二、填空题7．(2025·大庆)如图，在△ABC 中，∠A＝40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC＝__110 ° __.(导学号 02052262)第 7 题图 第 8 题图8．(2025·长沙)如图，△ABC 中，AC＝8，BC＝5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边AC 于 E，则△BCE 的周长为__13__．(导学号 02052263)9.(2025·湖州改编)如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD＝8，则点 P 到 BC 的距离是__4__．三、解答题10．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数．(导学号 02052264)解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°－50°－60°＝70°，又∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠C＝30°，∵AE、BF 是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°，∴∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°.∵∠AFB＝∠C＋∠CBF＝ 60° ＋ 35° ＝ 95° ， ∴ ∠ BOA ＝ ∠ EAF ＋ ∠ AFB ＝ 25° ＋ 95° ＝ 120° ， 故 ∠ DAE ＝5°，∠BOA＝120°11. (2025·北京)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接 BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN; (2)∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝2，求 BN 的长．(导学号 02052265)(1)证明：在△CAD 中，∵M、N 分别是 AC、CD 的中点，∴MN∥AD，MN＝AD，在 Rt△ABC 中，∵M 是 AC 的中点，∴BM＝AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM (2)解：∵∠BAD＝60°，AC 平分∠ BAD ， ∴ ∠ BAC ＝ ∠ DAC ＝ 30° ， ∴ ∠ BMC ＝ ∠ BAM ＋ ∠ ABM ＝ 2∠BAM ＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)可知 MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝
