初 一 数 学 竞 赛 培 训 讲 座第 2 讲 数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的.反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.运用反证法的关键在于导致矛盾.在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的.例 1 是否存在三位数？解 ： 假 如 存 在 这 样 的 三 位 数 ， 那 么 就 有 ： 100a+10b+c= （ 10a+b ） + （ 10b+c ）+（10a+c）.上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为 a≥1，b≤9，c≤9.这表明所找的数是不存在的.说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾.例 2 将某个 17 位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加.试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数.解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数.在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和 d+a 为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和 b+c≤9.将已知数的前两位数字 a，b 与末两位数字 c，d 去掉，所得的 13 位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质.照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾.故和的数字中必有偶数.说明：显然结论对（4k+1）位数也成立.但对其他位数的数不一定成立.如 12+21，506+605等.例 3 有一个魔术钱币机，当塞入 1 枚 1 分硬币时，退出 1 枚 1 角和 1 枚 5 分的硬币；当塞入 1 枚 5 分硬币时，退出 4 枚 1 角硬币；当塞入 1 枚 1 角硬币时，退出 3 枚 1 分硬币.小红由 1 枚 1 分硬币和 1 枚 5 分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中 1 分的硬币刚好比 1 角的硬币少 10 枚？解：开始只有 1 枚 1 分硬币，没有 1 角的，所以开始时 1 角的和 1 分的总枚数为 ...
