3.1.1 数系的扩充和复数的概念 【学习要求】1．了解引进虚数单位 i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.1．复数的有关概念(1)复数 ①定义：形如 a＋bi 的数叫做复数，其中 a，b∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．② 表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．② 表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔__________.探究点一 复数的概念问题 1 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？问题 2 如何理解虚数单位 i?问题 3 什么叫复数？怎样 表示一个复数？问题 4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例 1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④ π；⑤－i；⑥ 0.跟踪 1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在请说明理由．(1)实部为－的虚数； (2)虚部为－的虚数；(3)虚部为－的纯虚数； (4)实部为－的纯虚数．例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝＋(m2－2m)i 为(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．跟踪 2 实数 m 为何值时，复数 z＝＋(m2＋2m－3)i 是(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题 1 两个复数能否比较大小？问题 2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知 x，y 均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求 x 与 y.跟踪 3 已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求 x 的值．【达标检测】1．已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是 ( )1A．，1 B．，5 C．±，5 D．±，12．下列复数中，满足方程 x2＋2＝0 的是( )A．±1 B．±I C．±i D．±2i3．如果 z＝m(m＋1)＋(m2－1)i 为纯虚数，则实数 m 的值为( )A．1 B．0 C．－1 D．－1 或 14．下列几个命题： ① 两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；② 两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－ai(a∈R)是一个复数；④ 虚数的平方不小于 0；⑤－1 的平方根只有一个，即为－i；⑥i 是方程 x4－1＝0 的一个根；2
