青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.1-3.1.2 函数的平均变化率 瞬时速度与导数导学案 新人教A版选修1-1

3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数 【学习要求】1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想.1.函数的变化率定义实例平 均 变化率函数 y＝f(x)从 x1到 x2的平均变化率为 ，简记作：① 平均速度；②曲线割线的斜率瞬 时 变化率函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率是函数 f(x)从 x0到 x0＋Δx 的平均变化率在 Δx→0 时的极限，即 ＝lim① 瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率2.函数 f(x)在 x＝x0处的导数函数 y＝f(x)在 x＝x0处的 称为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 ，即 f′(x0)＝lim ＝ .引言 那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一 平均变化率的概念问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度，如何描述这种现象呢？问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在函数关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在下列时间段内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？(1)0≤t≤0.5，(2)1≤t≤2.问题 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？问题 4 平均变化率也可以用式子表示，其中 Δy、Δx 的意义是什么？有什么几何意义？例 1 已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率；(2)求当 x1＝4， 且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率；(3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.跟踪 1 (1)计算函数 f(x)＝x2从 x＝1 到 x＝1＋Δx 的平均变化率，其中 Δx 的值为①2；② 1；③ 0.1；④ 0.01.(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数 f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？探究点二 函数在某点处的导数问题 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题 2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？问题 3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？例 2 利用导数的定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数.跟踪 2 求函数 f(x)＝3x2－2x 在 x＝1 处的导...